2. Таблицы распределения выборочных величин
Обычно
выборочные распределения задаются
таблично в виде правосторонних функций
распределения
и/или обратных к ним квантилей
,
графический смысл которых изображен
на рис.11.3. Таблица значений этих величин
известна [10] и они приводятся в приложениях
2-5.
Рис.11.3 Правосторонняя квантиль
В статистическом комплексе программ MS Excel-2007 эти распределения представлены следующими функциями:
-
правостороннее
распределение
Пирсона,
-
правосторонняя
квантиль
Пирсона,
-
правостороннее t-распредел.
Стьюдента,
-
двухстороннее t
–распределение,
-
двухсторонняя t
–квантиль,
-
правостороннее F-распределение
Фишера,
FРАСПОБР
- правосторонняя квантиль Фишера.
Для работы с нормальной случайной величиной имеются следующие полезные функции:
-
весовая функция
-
интегральная функция
-
обратная интегральная функция;
-
интегральная функция стандартная
;
-
обратная стандартная интегральная
функция;
Ф
- Функция Лапласа.
Лекция № 12
Статистические оценки параметров распределения
Пусть
распределение наблюдаемой случайной
непрерывной величины
(признак генеральной совокупности),
задается функцией плотности вероятности
,
где
параметр или параметры распределения.
Допустим, что вид функции
известен
или ограничен некоторым классом функций,
а параметр
неизвестен
и должен быть оценен по выборке
,
где n
– объем выборки.
1. Точечные оценки
Точечной статистической оценкой параметров распределения или характеристик наблюдаемой случайной величины , называется построенная по данным выборки объема n величина:
.
Оценка
является так же случайной величиной,
т.к. зависит от случайной выборки, поэтому
ее можно представить как функцию от
случайных величин
,
где
независимые
случайные величины, распределенные так
же как и сама величина
.
Для того, чтобы оценки, получаемые по
данным различных выборок соответствовали
истинному значению параметра
,
оценка должна удовлетворять следующим
требованиям.
Оценка должна быть несмещенной, т.е. ее математическое ожидание должно совпадать с истинным значением параметра для любого объема n
или
хотя бы асимптотически несмещенной:
.
Оценка должна быть состоятельной, т.е. с ростом объема выборки оценка должна сходится по вероятности к истинному значению параметра:
для
любого
.
Для состоятельности оценки достаточно выполнения следующего:
,
действительно,
из неравенства Чебышева
для случайной величины следует состоятельность оценки.
Построенная оценка для использования на практике должна быть эффективной, т.е. ее дисперсия должна быть минимальной среди всех возможных оценок при фиксированном объеме выборки:
.
Величину дисперсии эффективной оценки можно найти используя неравенство Рао-Крамера:
,
где
- информация Фишера. Коэффициент
эффективности оценки
показывает
степень эффективности оценки
,
если
,
то говорят об асимптотической эффективности
оценки.
Отметим, что на практике не всегда удается удовлетворить всем перечисленным требованиям к оценке, но введенные свойства оценок всегда позволяют проранжировать имеющиеся оценки по их качеству.
В
качестве примера рассмотрим оценки
математического ожидания
и
дисперсии
наблюдаемой случайной величины
.
Построим точечные оценки:
,
и
рассмотрим их свойства. Поскольку
и
то можно вычислить, что для оценки m*
справедливо:
;
при
.
Из этого следует несмещенность и состоятельность оценки m*.
Рассматривая
же оценку
можно
получить:
;
.
Из чего следует состоятельность и смещенность оценки . Смещеность оценки здесь легко может быть исправлена. Рассмотрим оценку:
.
Оценка
является
уже несмещенной и состоятельной оценкой.
Величина
называется
исправленной (уточненной) выборочной
дисперсией, а величина
исправленным среднеквадратическим
выборочным отклонением (выборочный
стандарт).
В заключении напомним, что относительная
частота
появления
события в независимых испытаниях
Бернулли является несмещенной,
состоятельной и эффективной оценкой
неизвестной вероятности этого события
(теорема
Бернулли), а
эмпирическая функция выборочного
распределения
является состоятельной несмещенной
оценкой неизвестной функцией распределения
наблюдаемой случайной величины
(теорема Гливенко).