1. Его значение по модулю он не превышает единицы .

2. для независимых величин и коэффициент равен нулю ,

3. для линейно зависимых величин он равен по модулю единице .

Сама статистическая зависимость описывается функциями условного распределения, например, для непрерывных случайных величин функциями плотности условного распределения или . Однако нахождение этих функций и их практическое использование обычно затруднено и малоэффективно. Чаще статистическая зависимость рассматривается в более простом виде, в виде функциональной зависимости числовых характеристик одной из величин от значения другой величины. Такая зависимость называется корреляционной и описывается функциями регрессии или . Так например, наиболее часто используется регрессия в форме условного математического ожидания:

.

Корреляционная зависимость приближает статистическую зависимость функциональной зависимостью и имеет следующий вид:

.

Здесь - объясняемая переменная, - значение объясняющей переменной , а - случайная величина ошибки (невязки) корреляции с нулевым математическим ожиданием при любом значении х. Дисперсия же ошибки не нулевая, но при «хорошей» функции регрессии она не должна быть большой, и не должна зависеть от переменной х. Построение таких функций регрессии является задачей регрессионного анализа.

Для приближенного построения функции регрессии будем искать наилучшее в определенном, но довольно широком, m-параметрическом классе функций таким образом, что бы дисперсия ошибки как функция от параметров была минимальной. Такое приближение называется среднеквадратической регрессией в классе . Для приближенного построения функции регрессии можно так же воспользоваться данными наблюдений за величинами X и Y, полученными в выборке объема n. Такие оценки для функции регрессии ищутся так же в кассе , имеют минимальное суммарное отклонение от наблюдаемых значений , строятся методом наименьших квадратов и называются выборочной среднеквадратической регрессией.

1. Эмпирическая линейная среднеквадратическая регрессия

Линейная регрессия является простейшей регрессионной моделью, согласно которой функция регрессии является линейной 2-х параметрической функцией:

,

где - неопределенные коэффициенты, которые оценим по наблюдаемым данным. Пусть имеется двухфакторная выборка n наблюдений за величинами и , которую будем называть корреляционным полем. Помимо выборочных средних значений и выборочных дисперсий , вычислим так же среднее произведение и выборочный (эмпирический) коэффициент корреляции , который является выборочным аналогом теоретического коэффициента корреляции Пирсона .

Построим коэффициенты методом наименьших квадратов. Для этого найдем такие значения , которые минимизируют сумму квадратов отклонения и , то есть ошибки

.

Из необходимых условий минимума найдем искомые значения :

; ; ,

; ; .

Через выборочный коэффициент корреляции , коэффициент представим в форме , а уравнение выборочной линейной среднеквадратической регрессии имеет одну из следующих форм:

; ;

; .