4. О границах применимости схемы Бернулли
Схема повторных испытаний Бернулли в силу своей простоты и наглядности имеет большое распространение не только в учебном процессе, но и практических приложениях. Однако надо помнить, что в ее основе лежат три основополагающих принципа:
- однородность (одинаковость, повторяемость) испытаний,
- независимость испытаний между собой,
- стационарность испытания (постоянство вероятностей его исходов).
_______________
Пример. На складе находится деталей, причем из них бракованных. Рабочий взял наудачу деталей, какова вероятность того, что у него окажется бракованных деталей.
Решение.
Часто
студенты, не владеющие полностью
материалом курса, начинают рассуждать
так: «Неважно, как рабочий взял эти
детали, то ли он их получил у кладовщицы
все сразу, то ли он сам набирал эти детали
в тару по очереди (что верно в силу
однородности и симметрии опыта). Но раз
есть повторяемость, то почему бы не
применить формулу Бернулли для повторных
испытаний с вероятностью взять бракованную
деталь равной
»?
Например, для
,
,
,
эти студенты получают
.
Однако они забывают, что вероятность
взять бракованную деталь
верна только для первого испытания. В
последующих испытаниях она изменяется
(становится условной), что нарушает
стационарность и независимость испытаний.
Если бы они знали «схему урн» или
вспомнили о ней, то правильное решение
находится тривиально:
.
Заметим, что при
условии «большого» склада
разница в решении будет несущественной,
так как вероятность взять бракованную
деталь изменяется медленно. Так для
значений
,
,
решение по «Бернулли» будет тем же
,
а вот правильное:
.
Разница менее существенна, но студенту остается уповать на «милость» преподавателя.