3. Теоремы Муавра-Лапласа

В условиях действия схемы Бернулли (производится независимых испытаний, событие наступает ровно раз, вероятность наступления в одном испытании равна ) при большом подсчитать по формуле Бернулли затруднительно (нужно подсчитать большие факториалы, большие степени и т.п.).

Для упрощения расчётов придумали формулу, но приближённую (пришлось «заплатить точностью»). Приведем без доказательства соответствующую теорему.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний постоянна, , число испытаний велико, то вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз, приближённо равно:

,

где , , .

Функция затабулирована (в [2] значения этой функции даются в таблице приложения 1).

При использовании этой таблицы полезно иметь в виду, что: функция чётная (т.е. ); функция убывает при ; функция .

_______________

Пример. Найти вероятность того, что при выстрелах мишень будет поражена ровно раз, если вероятность поражения мишени при одном выстреле равна .

Решение. Понятно, что искомую вероятность можно найти по формуле Бернулли, но кто возьмется подсчитать (т.е. )? А с помощью локальной теоремы Муавра-Лапласа - запросто! Здесь :

,

.

Поэтому по таблице приложения 1 находим , откуда:

.

Теперь пусть перед нами поставлена следующая задача. Найти вероятность того, что из достаточно большого числа объектов от до объектов имеют определённое свойство: .

Например, нужно найти вероятность того, что из семей от до семей имеют автомобиль:

.

В условиях действия схемы Бернулли (производится независимых испытаний, событие наступает ровно раз, вероятность наступления в одном испытании равна ) при большом подсчитать по формуле Бернулли затруднительно (нужно подсчитать большие факториалы, большие степени и т.п.). Подсчитать по локальной теореме Муавра-Лапласа? Но она приближённая, а поэтому мы сложим большое число ошибок и в итоге получим пшик!

На помощь приходит интегральная теорема Муавра-Лапласа, которую также приведём без доказательства.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний постоянна, , то вероятность того, что число наступления события в независимых испытаниях заключена в пределах от « » до « » (включительно) при достаточно большом числе приближённо равна

,

где функция равна (функция Лапласа), , , .

Функция затабулирована (в [2] значения этой функции даются в таблице приложения 2).

При использовании этой таблицы полезно иметь в виду, что: функция нечётная ( ); функция возрастает при увеличении положительного значения ; функция .

_______________

Пример. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие появится не менее раз.

Решение. Нас интересует вероятность

,

где

,

следовательно, надо отыскать , но в табл. приложения 2 из [2] даётся только значение (для больших значений аргумента значений не приводится). Но так как возрастает при значениях и , то заключаем, что .

Кроме того , поэтому (по свойству определенного интеграла). Отсюда:

.