1. Формула Бернулли

Имеет место следующая теорема.

Теорема (формула Бернулли) Вероятность того, в независимых испытаниях событие наступит ровно раз, равна:

,

где - число сочетаний из по , - вероятность события , - вероятность события (т.е. вероятность ненаступления события ).

Доказательство. Начнём с малого. Пусть обозначает исходное событие, т.е. появление ровно раз события в независимых испытаниях (вероятность появления в одном испытании, напомню, равняется ).

Событие может, например, появиться (событие ) следующим образом: вначале испытаний событие наступает ровно раз, а затем оно раз не наступает (значит, наступит противоположное событие ):

.

Найдём вероятность этого события. Поскольку все события независимы («вероятность произведения равна произведению вероятностей»), то:

.

А вероятность найдём, исхитрившись. События и образуют

полную группу, т.е. . Кроме того, они несовместны (т.к. вместе произойти не могут). Поэтому («вероятность суммы равна сумме вероятностей»):

,

Откуда:

.

Поэтому

.

Но событие может появиться и другим образом. Например,

.

Нетрудно убедиться в том, что вероятность по-прежнему равна:

.

Но как пересчитать все эти возможности (ясно, что они все являются несовместными, а поэтому будет равно числу (сумме) всех этих возможностей умноженной на )? Число всех возможных таких вариантов событий равно , числу способов, которыми можно расположить чисел по местам (при этом порядок, занимаемый числами, не имеет значение):

числа располагаются по местам (событие ),

числа располагаются по местам (событие ),

и т.д.

Поэтому

.

Что и требовалось доказать.

_______________

Пример. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми автомашин, на автобазе всего десять машин. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна . Найти вероятность нормальной работы автобазы.

Решение. Прежде всего поймём, что значит вероятность нормальной работы автобазы:

.

Причём последнее равенство справедливо, т.к. несовместными являются события « машин на линии», « машин на линии» и « машин на линии».

Вероятность того, что автомашин на линии, равна «вероятности того, что в независимых испытаниях событие (выход одной машины на линию) наступит ровно раз»:

,

где - вероятность выхода одной машины на линию, а - вероятность невыхода одной машины на линию. Поскольку по условию задачи , постольку . Окончательно,

.

Аналогично:

и .

Поэтому:

.

Сделаем вывод. Поскольку в статистике считается, что событие, вероятность которого «больше достоверное событие», постольку базу, иногда, будет «лихорадить». Полностью нормальной её работу считать нельзя! А для исправления ситуации следует прикупить автомашины или поработать над уменьшением вероятности невыхода каждой автомашины на линию.

2. Полиноминальная формула Бернулли

Пусть в каждом из независимых испытаниях происходит одно из событий , образующих полную группу. Вероятности наступления каждого из событий не изменяется в серии испытаний и равны , а само событие наступает в серии испытаний ровно . Причем , а . Тогда верна следующая полиноминальная формула Бернулли:

,

которая дает вероятность получения различных комбинаций количеств событий в серии испытаний. При полиноминальная формула превращается в обычную биноминальную формулу Бернулли.

_______________________

Пример. Вычислить вероятность того, что в шахматном турнире из 5 партий с соперником, у которого выиграть партию вы сможете с вероятностью 0,3, а проиграть 0,5, вы две партии выиграете, а проиграете только одну.

Решение. В каждой из независимых партий (испытаний) возможны три исхода. При этом . Тогда ответ на вопрос задачи будет следующим:

.