2. Независимость событий
Понятие «независимости» играет ключевую роль в теории вероятностей: оно выделило теорию вероятностей из теории меры (ибо в теории вероятностей находятся вероятности различных событий – суть измеряется мера определенного множества по сравнению с множеством единичной меры).
Однако перейдём к понятию независимости. Если и два события, то естественно сказать, что событие не зависит от события , если знание того, что свершилось событие , никак не влияет на вероятность события . Иначе говоря (при условии > ),
.
По определению условной вероятности:
.
Поэтому
,
откуда
.
Последнее равенство и принято в теории вероятностей за определение независимости двух событий.
Итак, два события и называются независимыми, если
Прелесть этого
определения ещё и в том, что оно годится
и для случая, когда
(в
отличие от рассуждений в начале этого
пункта).
Пример.
Безотказная работа прибора определяется
работой двух узлов, соединённых
последовательно. Вероятность безотказной
работы
-ого
узла равна:
Узлы работают независимо друг от друга. Какова вероятность безотказной работы всего прибора.
Решение. Введём следующие обозначения:
- событие, состоящее в безотказной работе всего прибора;
- событие, состоящее
в безотказной работе
-ого
узла прибора (
).
Тогда в силу «последовательности» соединения
.
Поэтому
,
а в силу независимости работы узлов прибора (вероятность произведения равна произведению вероятностей):
Всякое последовательное соединение приводит к потере устойчивости в работе прибора!
3. Вероятность произведения событий
Это очень просто. Из определения условной вероятности (напишем определение наоборот):
следует, что вероятность произведения событий (в общем случае) равна
.
И всё! Новая формула готова!
Аналогично (от перемены букв в определении само определение не изменится!):
,
поэтому
.
Окончательно получается следующее утверждение.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на произведение условной вероятности другого события при условии, что первое событие произошло:
.
Приведём получаемую по индукции теорему об умножении конечного числа событий:
.
4. Теорема сложения вероятностей событий
Начнем с
геометрической иллюстрации. Пусть
рассматривается геометрическая
вероятность в случае
(плоский случай). Событие
состоит в том, что бросаем точку на часть
плоскости
и попадаем в фигуру
,
а событие
- попадаем в фигуру
(см.
рис. 3.2). Найдем вероятность того, что
бросаем точку в область
и попадаем в фигуру
,
т.е. забитую точками на рис. 3.2 фигуру.
Эта фигура
соответствует событию, состоящему в
наступлении или события
или события
,
т.е. события
.
Рис. 3.2. Иллюстрация к теореме сложения вероятностей
В силу геометрической
вероятности эта вероятность
равна:
,
где
-
площадь фигуры
,
а
- площадь области
.
Осталось найти площадь
.
Она равна:
,
где
- площадь фигуры
,
- площадь фигуры
,
- площадь общей части фигур
и
,
«забитой» на рис. 3.2 пятнами. Тогда:
,
где по определению геометрической вероятности:
вероятность события ,
вероятность события ,
вероятность события .
Тем самым, мы приходим к равенству
,
которое и составляет содержание теоремы о сложении вероятностей совместных событий, но доказательство её в общем случае гораздо сложнее и его мы оставляем без внимания.
Теорема о сложении вероятностей совместных событий. Вероятность суммы совместных событий и равна:
.
Здесь слова «вероятность совместных событий» имеют принципиальное значение, т.к. для несовместных событий получается несколько иная теорема. Разберёмся в этом. Для несовместных событий и основным свойством является равенство (они вместе произойти не могут):
.
Поэтому теорема переписывается в следующем виде.
Теорема о сложении вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий и равна:
.
___________________________________________
Пример.
«Не кладите все яйца в одну корзину». В
два банка положены деньги (слава Богу,
что некто догадался положить их именно
в два банка). Банки работают независимо
друг от друга (часто встречающаяся
ситуация). Вероятность разорения первого
банка равна
,
а второго -
.
Какова вероятность того, что деньги
сохранятся хотя бы в одном из банков.
Решение. Чтобы решить вероятностную задачу, главное, ввести правильные обозначения. Попробуем ввести следующие события.
- деньги взяты из
первого банка,
- деньги взяты из
второго банка.
Тогда событие
означает, что деньги взяты либо из
первого, либо из второго банка, либо из
обоих банков сразу (вам очень повезло).
А найти нужно именно вероятность этого
события
.
По формуле сложения
вероятностей совместных событий
получаем:
.
Вероятность
того, что первый банк останется «на
плаву», составляет с вероятностью
того, что первый банк разорится, в сумме
(т.к. событие
есть достоверное событие). Поэтому:
.
Аналогично найдем
.
А вероятность
произведения двух событий
равна произведению вероятностей
,
как произведение независимых событий.
Поэтому:
.
То есть искомая
вероятность получается больше вероятностей
и
,
а, значит, права пословица!