2. Математическое ожидание. Непрерывные случайные величины

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятностей называется следующий интеграл:

.

Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины точно такие же, как и у дискретной случайной величины.

______________

Пример. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Найти её математическое ожидание.

Решение. По свойству равномерно распределённой на отрезке случайной величины её плотность распределения вероятностей равна:

,

где (попробуйте обосновать это).

Тогда по определению математического ожидания непрерывной случайной величины:

.

3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины

Начнём сразу с двух определений.

Определение. Дисперсией случайной величины называется величина:

.

Дисперсия говорит о среднем квадрате отклонения от среднего (математического ожидания).

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина:

.

Среднее квадратическое отклонение говорит о среднем отклонении от математического ожидания.

Для дискретной случайной величины дисперсия имеет вид:

.

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятностей дисперсия имеет вид:

.

Примечание. Полезно знать, что для нормально распределенной случайной величины (напомним, что её плотность распределения вероятностей имеет вид ) математическое ожидание равно , а среднее квадратическое отклонение равно , т.е. величинам, входящим в определение самого закона.

______________

Пример. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной следующим законом распределения:

Решение. Сначала найдём математическое ожидание случайной величины :

.

Теперь настала очередь дисперсии:

и среднего квадратического отклонения:

.

Пример. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение равномерно распределённой на отрезке случайной величины .

Решение. Поскольку математическое ожидание этой случайной величины мы нашли ранее , а её плотность распределения вероятностей имеет вид:

,

то дисперсия её считается следующим образом:

.

Отсюда среднее квадратическое отклонение для случайной величины равно:

.

4. Свойства дисперсии

Свойство . Дисперсия постоянной величины равна нулю:

const .

­ Доказательство. Действительно, пусть случайная величина равна const с вероятность . Поскольку тогда , то по определению дисперсии:

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Постоянный множитель можно вносить за знак математического ожидания, но в квадрате:

, где const.

Доказательство. Используя определение дисперсии и свойство математического ожидания, получим:

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата минус квадрат математического ожидания:

.

Доказательство. Используя определение дисперсии и свойство математического ожидания, получим:

.

Поскольку математическое ожидание – суть константа, то по свойству , а затем по свойству математического ожидания, приходим к следующему:

.

Теперь, приводя подобные, получаем:

Что и требовалось доказать.

Свойство . Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Без доказательства (для заинтересовавшихся студентов это доказательство – повод повысить итоговую оценку).

Свойство . Дисперсия случайной величины ограничивает вероятность её отклонение от своего математического ожидания (неравенство Чебышева П.Л.):

.

Без доказательства.

__________________

Пример. При ракетной стрельбе в «заданный район» среднеквадратическое отклонение от цели имеет значение . Оценить радиус круга безопасности, где с вероятностью не мене ракеты не ложатся.

Решение. Пусть - координата точки падения по дальности. Тогда вероятность выхода за -зону ограничена (по неравенству Чебышева) следующим:

,

но она должна быть не больше . Это будет выполнено, если

,

т. е. при .

Заметим: если предположить, что дальность распределена по нормальному закону, то:

,

а значит , или при . Как видим, знание закона распределения существенно уточняет круг безопасности!

__________________

На рис. 8.1 показан геометрический смысл основных числовых характеристик случайной величины.

Рис. 8.1. Геометрическая иллюстрация понятий математического ожидания

моды и дисперсии случайной величины

Так, математическое ожидание характеризует центр распределения или среднее ожидаемое значение величины и геометрически оно изображается как координата центра тяжести фигуры, образованной осью и линией функции . Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют средний ожидаемый разброс (широту, изменчивость) значений величины возле математического ожидания. Наиболее вероятное значение случайной величины является ее мода , оно соответствует максимуму функции .