2. Нормальное распределение
Определение. Случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если её плотность распределения вероятностей имеет вид:
,
где
и
- параметры распределения
(
).
Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная его особенность – он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения (при типичных условиях).
Плотность вероятности - функция, похожая на колокол. Зависимость от параметров такова (рис. 7.2). При уменьшении только параметра , график функции вытягивается и поднимается вверх по оси ординат. А при увеличении только параметра , график симметрично передвигается вправо вдоль оси абсцисс:
Рис. 7.2. Функция плотности распределения нормальной величины
Функция распределения нормального распределения
имеет вид, изображенный на рис. 7.3:
Рис. 7.3. Функция распределения нормальной величины
а) Правило «трёх сигм»
Найдём вероятность
того, что изучаемая случайная величина
(распределённая нормально) примет
значение в пределах от
до
:
.
Для этого воспользуемся известным из математического анализа свойством определённого интеграла:
и, используя ещё одно свойство:
,
окончательно получим:
.
Этим равенством
и воспользуемся (при условии, что роль
играет параметр
из нормального закона)
.
Далее сделаем
замену
в определённых интегралах (тогда
или
):
,
где функция Лапласа
затабулирована и приводится в приложении
2 из [2]. В частном случае, когда интервал
симметричен относительно точки
,
эта формула выглядит так:
или так:
.
Отсюда правило
«трёх сигм» выводится следующим образом.
Рассмотрим вероятность того, что
изучаемая случайная величина
(распределённая нормально) примет
значение в пределах от
до
:
.
Из таблицы для
функции Лапласа находим, что
,
поэтому
,
т.е. вероятность
встретить значение изучаемой случайной
величины именно на интервале
велика -
!!!
3. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
Определение. Случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если её плотность распределения вероятностей имеет вид:
,
где
параметр
распределения (
).
Он возникает в
теории массового обслуживания, теории
надёжности. Например, интервал времени
между двумя соседними событиями
(заявками) в потоке поступающих заявок
на обслуживание (ремонт телевизоров,
автомобилей, …) имеет показательный
закон распределения (с интенсивностью
).
Примерный график
плотности распределения вероятностей
приводится на рис. 7.4.
Рис. 7.4. Функция плотности распределения показательной величины
Определим вид функции распределения для показательного закона:
=
.
Примерный график
функции распределения
приводится на рис.7.5.
Рис. 7.5. Функция распределения показательной величины
4. Логарифмически-нормальное распределение
Определение.
Случайная
величина
имеет логарифмически-нормальное
(логнормальное) распределение, если
её натуральный логарифм
подчинён
нормальному закону:
Отсюда, функция плотность распределения вероятностей логнормального распределения имеет вид (по правилу дифференцирования интеграла, зависящего от параметра)
Примерный вид графика функции приведён на рис. 7.6.
Рис. 7.6. Функция плотности распределения логнормальной величины
Логнормальное распределение встречается при описании распределения доходов, банковских вкладов, долговечности изделий в режиме износа – старения, месячной зарплаты, посевных площадей под различные культуры и т.п.