Лекция № 5

Дискретны случайные величины

1. Закон распределения дискретной случайной величины

Начнём с примера. Если Вы сдаёте экзамен, то результатом сдачи может явиться:

а) сам факт сдачи экзамена, это известное нам случайное событие;

б) оценка, полученная на экзамене. А когда речь идёт о количестве, то это уже новая характеристика, ранее нами не исследованная. Это уже величина. А поскольку она носит случайный характер (заранее никак не угадаешь, сдадите ли экзамен на « » или на « »), то это величина - случайная. Так появляется необходимость рассмотрения случайных величин.

Определение. Переменная , принимающая в результате испытаний случайным образом одно и только одно из конечной или бесконечной последовательности значений , называется дискретной случайной величиной, если каждому значению соответствует определённая вероятность того, что переменная примет значение .

Обозначение. Обозначать дискретные случайные величины будем латинскими буквами , , ,..., а их возможные значения .

Определение. Зависимость вероятности от значения называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Закон распределения удобно задавать в виде таблицы:

Значения случайной величины ( )
Вероятности значений ( )

Получается так называемый ряд распределения дискретной случайной величины.

Причём (что очень важно!) события - несовместные и единственно возможные (переменная принимает одно и только одно значение), поэтому (по теореме сложения вероятностей и т.к. в итоге получается достоверное событие):

,

если принимает конечное число значений, и

,

если принимает бесконечное число значений. То есть получается необходимое условие существования закона распределения!

Закон распределения дискретной случайной величины можно задавать графически (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Многоугольник распределения

Получается так называемый многоугольник распределения вероятностей дискретной случайной величины (на рис. 5.1 этот многоугольник изображается ломаной жирной линией).

_______________

Пример. Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна .

Решение. Прежде всего, разберём, сколько значений может принимать случайная величина в данном случае. Можем совсем промахнуться ( будет равно ), попасть один раз из четырёх ( ), попасть два раза из четырёх ( ), попасть три раза из четырёх ( ), попасть четыре раз из четырёх ( ).

Теперь о вероятностях. Нас интересует вероятность: раз попасть при четырёх выстрелах. Иными словами, вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз. В схеме Бернулли мы её обозначали как , а находили по формуле :

.

Аналогично

,

.

Причём легко подсчитать, что:

.

Поэтому закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах имеет вид