1.2. Графоаналитический метод для решения задачи линейного программирования (злп).

Пример 1.3:

Найти план производства товаров, при котором будет мах прибыль.

Таблица 1.1

Типы ресурсов	Нормы затрат ресурсов		Запасы ресурсов
	а	б
1	2	4	9
2	3	1	6
Прибыль от 1 изделия	6	2

Р ешение:

Найти max f(x) = 6x₁ + 2x₂

B

m

f(x)

ax f(x) = 12

C

Рис. 1.1

Отрезок ВС, допустимый в области Х, параллельный линиями уровня целевой функции, является крайней гранью этой области в направлении возрастания функции, следовательно, любая точка на отрезке ВС является оптимальным решением.

Пример 1.4:

Н айти max f(x) = x₁ + x₂

f(x)

Рис. 1.2

Допустимая область не ограничена в направлении возрастания целевой функции, т.е. в допустимой области не существует конечной точки максимума.

Пример 1.5 :

Н айти max f(x) = 2x₁ + 3x₂

f(x)

Рис. 1.3

Ограничения задачи противоречивы, отсюда следует, что допустимых решений нет.

Пример 1.6:

Найдем наибольшее значение функции в заданной области, т.е. решим задачу линейного программирования (максимизируем линейную функцию при линейных ограничениях).

Стандартная форма записи ЗЛП

Каноническая форма записи ЗЛП

			х2
						(1)
				(3)
	f (x)						(4)
					(2)
							х1
							с=40
						сmax
				с=0

Рис. 1.4

Рассмотрим линии уровня:

Следовательно, наибольшее значение заданная функция будет достигать в точке пересечения прямых, являющихся ограничениями (2) и (3):

Проверим все точки пересечения заданных ограничений, находящиеся в указанной области, учитывая условия , чтобы убедиться в правильности найденного решения:

(1) и (2)

.

(3) и (4)

.

Ответ:

Вывод:

1. Допустимая область всегда является выпуклым многоугольником, даже в случае, когда она не ограничена.

2. Оптимальное решение в заданном направлении всегда достигается на крайней границе допустимой области.

3. Если в заданном направлении крайняя граница - вершина, то задача имеет единственное решение, если крайняя граница - ребро, то задача имеет множество решений.