1. Математическое программирование

1.1. Понятие о математическом программировании (МП).

Классификация методов МП.

МП - раздел прикладной математики, изучающий способы оптимизации, т.е. совершенствования и повышения эффективности организации, планирования и управления организацией в различных системах на основе вычислительных методов, т.е. в основе МП лежит математический аппарат решения задач оптимизации.

1.1.1. Некоторые приложения МП:

1. в исследовании операции

1.1 оптимизация технико-экономических систем, транспортные задачи

1.2 управление запасами

2. в автоматике

2.1 распознавание систем

2.2 оптимальное управление системами

2.3 управление производством

3. в технике

3.1 определение оптимальных размеров

3.2 оптимальное планирование информационных систем

3.3 планирование ЭВМ-сетей

4. в математической экономике

4.1 решение больших макроэкономических моделей

4.2 решение моделей (задач) предпринимательства

4.3 теория принятия решений

Постановка любой задачи оптимизации начинается с определения набора независимых переменных и обычно включает условия, которые характеризуют их приемлемые значения (ограничение задач).

Обязательным компонентом описания задачи является мера качества (функция, зависящая от переменных) - целевая функция.

Под оптимальностью понимают максимальность или минимальность целевой функции.

1.1.2 Общая постановка большинства задач оптимизации:

Найти max f(x),min f(x) = f(x*) = f*

x принадлежит X (хХ)

x = [x₁...x_n]^T - векторная переменная, по которой ведется оптимизация.

[]^T- означает транспонирование.

X - некоторое допустимое множество (область) ограничений или условий.

f(x) - скалярная функция векторного аргумента, заданная на множестве Х; целевая функция; критерий оптимальности; оптимизированная функция.

f*-минимальное, максимальное значение функции (решение задачи).

х*- значение аргумента, при котором достигается f*.

Множество условий Х чаще всего имеет вид:

, (1.1)

- функции ограничений.

(1.2)

-знак принадлежности

R- заключено в пределах от - до +, .

Во многих случаях важно различать ограничения неравенства и ограничения равенства ( ; ).

1.1.3. По виду решаемой задачи можно выделить следующие разделы мп:

1. линейное программирование (ЛП) - это раздел МП, изучающий задачу определения min или мах линейной функции многих переменных, при линейных ограничениях в виде равенств или неравенств.

2 нелинейное программирование (НП) - это раздел МП, изучающий методы отыскания экстремумов в задачах оптимизации с нелинейной целевой функцией и/или нелинейными ограничениями.

3. стохастическое программирование (случайность) - изучает методы выбора оптимальных решений в ситуациях характеризуемых случайными величинами.

4. целочисленное программирование - изучает методы решения задач оптимизации, в которых на значение всех или части переменных целевой функции наложено требование целочисленности.

5. динамическое программирование - изучает методы для решения оптимизационных задач, в которых необходимо рассмотреть процесс производства в развитии.

6. параметрическое программирование - изучает оптимизацию систем, в моделях которых коэффициенты целевой функции или ограничений не являются постоянными величинами, а изменяются из-за различных факторов.

1.1.4. Определение задачи линейного программирования. (злп)

ЗЛП состоит в максимизации (минимизации) линейной функции при линейных ограничениях.

Пример 1.1:

найти (1.3)

при ограничениях:

(1.4)

ЗЛП, записанная в виде (1.3) и (1.2), называется общей задачей ЛП, заданной в произвольной форме записи.

Любую ЗЛП можно записать в виде:

найти при условиях , но при этом вводится дополнительное условие:

(1.5)

(1.3) и (1.5) - стандартная форма записи ЗЛП

Любую ЗЛП можно представить в виде:

найти (1.6)

при

(1.7)

(1.6) и (1.7) - представляют собой каноническую форму записи ЗЛП.

ЗЛП в произвольной постановке всегда может быть приведена к стандартной и канонической формам с помощью следующих преобразований ( - знак преобразования):

1. ; (1.8)

2. ; (1.9)

3. если , то ; (1.10)

4. ; (1.11)

^~ - означает, что эту переменную дополнительно вводят.

5. (1.12)

Преобразования 3-5 приводят к увеличению размера задачи.

Пример 1.2:

В стандартной форме:

В канонической форме: