0. 2.2 Лабораторная работа «Дисперсионный анализ»

Цель работы: получить навыки и умения применения дисперсионного

анализа при построении однофакторного и двухфакторного комплекса.

Задачи:

- изучить теоретические аспекты однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа;

- используя пример выполнения работы, выявить влияние одного фактора на исследуемый признак (все данные в матрице (таблица 2.13) наблюдений изменить на величину своего варианта по списку из журнала преподавателя);

- используя пример выполнения работы, выявить влияние двух факторов «А» и «В» на исследуемый признак (все данные в матрице (таблица 2.15) наблюдений изменить на величину своего варианта по списку из журнала преподавателя);

- ответить на контрольные вопросы;

- оформить работу в виде отчета по лабораторной работе.

Методический материал

2.2.1 Сущность дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ – это статистический метод анализа результатов наблюдений, зависящих от различных одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных факторов и оценка их влияния.

Идея дисперсионного анализа заключается в разложении общей дисперсии случайной величины на независимые случайные слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение этих дисперсий позволяет оценить существенность влияния факторов на исследуемую величину

Если исследуется влияние одного фактора на исследуемую величину, то речь идет об однофакторном комплексе. Если изучается влияние двух факторов – двухфакторный комплекс.

2.2.2 Однофакторный дисперсионный анализ

Возможен случай, когда на автоматической линии несколько станков параллельно выполняют некоторую операцию. Для правильного планирования последующей обработки важно знать, насколько однотипными являются средние размеры деталей, получаемых на параллельно работающих станках. Здесь имеет место лишь один фактор, влияющий на размер деталей – станки.

Исследователя интересует, существенно ли влияние этого фактора на размеры деталей. Ответ на этот вопрос можно получить, сравнивая средние по каждому станку размеры деталей между собой и оценки существенности разницы этих средних.

Запишем матрицу наблюдений в виде таблицы 2.11.

Таблица 2.11 – Матрица наблюдений

Станки	Детали
	1	2	………..	J	……….	N
1	X11	X12		X1j		X1n1
2	X21	X22		X2j		X2n2
i	Xi1	Xi2		xij		xini
m	Xm1	Xm2		xmj		xmnm

Запишем выражение:

(2.43)

где - полная сумма квадратов отклонений отдельных наблюдений от

общей средней;

- сумма квадратов разностей между средними отдельных

совокупностей и общей средней всей совокупности наблюдений

(сумма квадратов отклонений между группами);

- сумма квадратов разностей между отдельными наблюдениями и

средней соответствующей совокупности (сумма квадратов

отклонений внутри группы).

Найдем дисперсии:

(2.44)

(2.45)

(2.46)

Произведем оценку различия между дисперсиями и по критерию (Фишера):

(2.47)

где - число степеней свободы ( );

- число степеней свободы ( )

Выбирая уровень значимости , по таблице (приложение) находим табличное значение - критерия.

Сравнивая между собой межгрупповую и внутригрупповую дисперсии, по величине их отклонения судят, насколько сильно проявляется влияние факторов.

2.2.3 Двухфакторный дисперсионный анализ

Рассмотрим задачу оценки действия двух одновременно действующих факторов.

Предположим, что имеется несколько однотипных станков и несколько видов сырья. Требуется выяснить, значимо ли влияние различных станков и качество сырья в партиях на качество обрабатываемых деталей.

Пусть фактор «А» - влияние станков, фактор «В» - влияние качества сырья в партиях. Размер обрабатываемых деталей обозначим X_ij. Запишем матрицу наблюдений (таблица 2.12).

Таблица 2.12 – Матрица наблюдений

Станки	Сырье
	В1	В2	……..	Вj	………	Вv	Xi|
А1	X11	X12	……..		………	X1v	X1*|
А2	X21	X22	……….		………..	X2v	X2*|
Аi				Xij
Аr	Xr1	Xr2	………..		…………	Xrv	Xr*|
Xj|	X*1|	X*2|	…………		………..	X*v|	X|

Пусть имеется - станков ( -строк) и - партий сырья ( - столбцов).

По каждому столбцу и строке вычислим среднее значение, а также общее среднее по формулам.

(2.48)

(2.49)

(2.50)

Запишем основное тождество (формула 2.51):

(2.51)

где - изменение признака по фактору «А»;

- изменение признака по фактору «В»;

- влияние неучтенных факторов;

- полная сумма квадратов отклонений отдельных наблюдений от

общей средней.

Оценим дисперсии:

(2.52)

(2.53)

(2.54)

(2.55)

Для выяснения значимости влияния факторов «А» и «В» на исследуемый признак, сравнивают дисперсии по факторам с остаточной дисперсией.

Если случайная величина распределена нормально, то отношение выборочных дисперсий имеет F-распределение:

(2.56)

(2.57)

При выбранном уровне значимости , и сравнивают с табличным значением (приложение В). Если и , то факторы «А» и «Б» не влияют на исследуемый признак [3, 4, 8, 9, 17].

Пример выполнения лабораторной работы (однофакторный дисперсионный анализ)

Пусть имеется четыре партии сырья для текстильной промышленности. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки. Требуется выяснить, существенно ли влияние различных партий сырья на величину разрывной нагрузки.

1 Запишем матрицу наблюдений (таблица 2.13)

Таблица 2.13 – Матрица наблюдений

Номер партии (m)	Разрывная нагрузка (n)
	1	2	3	4	5
1	200	140	170	145	165
2	190	150	210	150	150
3	230	190	200	190	200
4	150	170	150	170	180

2 Находим среднее арифметическое значение по каждой строке:

( )

3 Среднее арифметическое всей совокупности наблюдений:

4 Вычисляем :

5 Вычисляем :

6 Вычисляем :

7 Результаты вычислений заносим в сводную таблицу 2.14.

Таблица 2.14 – Результаты однофакторного дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Суммы квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат
Межгрупповая	4980	3	1660
Внутригрупповая	7270	16	454,4
Полная	12250	19	644,7

8 Рассчитываем - критерий ( ).

9 По таблице, представленной в приложении В, находим - критерий (табличный) (α=0,01).

Так как вычисленное значение - критерия меньше табличного значения, то можно утверждать, что различие между сырьем в партиях не влияет на величину разрывной нагрузки.

Пример выполнения лабораторной работы (двухфакторный дисперсионный анализ)

1 Запишем матрицу наблюдений (таблица 2.15).

Таблица 2.15 – Матрица наблюдений

A	B
	В1	В2	В3
А1	1	2	3	2
А2	5	6	10	7
	3	4	6,5	4,5

2 Найдем по формулам:

3 Найдем дисперсии:

4 Найдем расчетное значение F – критерия:

5 Табличное значение F – критерия (приложение В): ; .

6 Сравним табличное значение F – критерия с расчетным:

(фактор «А» - влияет);

(фактор «В» - не влияет).

Контрольные вопросы

1. Что такое дисперсионный анализ?

2. В чем идея дисперсионного анализа?

3. Перечислите порядок однофакторного дисперсионного анализа.

4. Перечислите порядок двухфакторного дисперсионного анализа.

5. Как определить степень влияния того или иного фактора?