2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

2.1. Частные производные.

2.1.1. Вычисление частных производных функции двух переменных. Пусть функция двух переменных задана в некоторой области координатной плоскости. Если зафиксировать значение у, то эту функцию можно рассматривать как функцию одной переменной х, и, следовательно , ставить вопрос о дифференцировании по переменой х. В этой ситуации производная , вычисленная по переменной х, называется частной производной от f по х; она обозначается также или . Точно также производную функции f, вычисленную по переменной у при фиксированном х, называют частной производной функции f по у и обозначают , или . При вычислении частных производных пользуются обычными правилами дифференцирования. В частности, если вычисляем , то множитель целиком зависящий только от переменной у, можно вынести за знак производной; точно также поступаем с множителем, целиком зависящим только от переменной х при нахождении .

Пример. Найти частные производные функции .

Решение. При вычислении множитель и слагаемое рассматриваем как постоянные величины. Следовательно,

При вычислении множитель рассматриваем как постоянную величину:

Итак,

2.1.2. Частные производные высших порядков.

Частные производные и данной функции можно, в свою очередь, рассматривать как функции двух переменных х и у. Следовательно, имеет смысл ставить вопрос о нахождении уже их частных производных - производных второго порядка:

- производная дважды по х; - производная дважды по у;

- «смешанные» частные производные второго порядка по переменным х и у.

Для элементарных функций двух переменных результат вычисления смешанных производных на самом деле не зависит от порядка дифференцирования: .

Пример. Вычислить все частные производные функции

Решение. Cначала вычисляем производные первого порядка:

Теперь , , .

Задачи для контрольной работы

Вычислить частные производные по переменным и данных функций.

1. . 14. .

2. . 15. .

3. . 16. .

4. . 17.

5. . 18. .

6. . 19. .

7. . 20. .

8. . 21. .

9. . 22. .

10. . 23. .

11. . 24. .

12. . 25. .

13. .

2. Производная неявной функции.

1. Неявная функция одной переменной.

Пусть зависимость переменной от переменной , т.е. функция задана неявно, т.е. в виде уравнения . Тогда производная функции может быть вычислена в виде

Пример. Неявная функция задана уравнением . Найти .

Решение. Имеем . Теперь ищем частные производные функции :

,

.

Следовательно, .

Итак, .

2. Неявная функция двух переменных.

Уравнением задается зависимость переменной z от переменных x и y. Если эта зависимость - функциональная, то имеет смысл ставить вопрос о вычислении частных производных и .

Имеют место соотношения

, .

Пример. Неявная функция двух переменных задана уравнением . Найти и .

Решение. Имеем . Найдем частные производные , , .

Теперь , .

Задачи для контрольной работы

Найти производную функции , заданной неявно уравнением.

1. . 14. .

2. . 15. .

3. . 16. .

4. . 17. .

5. . 18. .

6. . 19. .

7. . 20. .

8. . 21. .

9. . 22. .

10. . 23. .

11. . 24. .

12. . 25. .

13. .