1.4.3. Асимптоты графика

Вертикальная асимптота графика функции возникает во всякой точке , где эта функция не определена, и хотя бы один из односторонних ее пределов в точке равен бесконечности.

График функции обладает асимптотой на бесконечности (наклонной асимптотой), если существуют оба числа (оба предела)

;

при этом, вообще говоря, следует рассмотреть отдельно оба случая и .

Если первый из указанных пределов не существует, или существует первый, но не существует второй, то график не обладает асимптотой (на бесконечности соответствующего знака).

1.4.4. Алгоритм полного исследования функции

1. Исследование элементарными методами: область определения, характер четности, периодичность.

2. Точки разрыва, вертикальные асимптоты.

3. Исследование на монотонность и экстремумы.

4. Характер выпуклости, точки перегиба.

5. Асимптоты на бесконечности.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Функция определена при всех . Поскольку ее область определения не обладает симметрией относительно начала координат, то вопрос о характере четности не стоит: функция ни четна, ни нечетна. Очевидно, что функция непериодична.

2. Функция претерпевает разрыв при Исследуем ее поведение при стремлении х к 1 слева (т.е. при , что обозначается в виде и справа (т.е. при , что обозначается в виде . В первом случае функция остается отрицательной, и знаменатель дроби стремится к нулю, так что

.

Во втором случае дробь будет положительной, поэтому

.

Следовательно, прямая х=1 служит вертикальной асимптотой графика.

3. Имеем Критическими точками первой производной (т.е. точками, где она не определена или обращается в ноль), служат точки Этими точками числовая ось разбивается на интервалы знакопостоянства производной При имеем , а значит функция возрастает; при а также при имеем , так что в каждом из этих интервалов функция убывает; наконец, при , так что в этом интервале функция возрастает.

В точке х=0 производная изменила свой знак с «+» на «-», следовательно, в этой точке данная функция достигла своего максимального значения: .

В точке х=2 производная изменила свой знак с «-» на «+», так что в этой точке данная функция приняла минимальное значение:

4. Найдем вторую производную:

Имеем при , так что в указанном интервале график функции выпукл; при , следовательно, в интервале график вогнут. В точке х=1 (критическая точка второй производной) функция не определена; следовательно, точек перегиба график не имеет.

5. Определяем асимптоты графика на бесконечности (наклонные асимптоты). В случае коэффициенты уравнения прямой будут следующими (если соответствующие пределы будут существовать):

Итак, , так что график обладает асимптотой на Точно такие же вычисления пределов при приводят к следующему результату: график обладает той же асимптотой и на

Соединяя результаты полного исследования, изображаем эскиз графика функции:

Задачи для контрольной работы

Исследовать функцию и построить эскиз ее графика

1. 10. 18.

2. 11. 19.

3. 12. 20.

4. 13. 21.

5. 14. 22.

6. 15. 23.

7. 16. 24.

8. 17. 25.

9.