Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Дифф_исч_Нахман_Петрова (1).doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
2.15 Mб
Скачать

1.3. Касательная и нормаль. Правило Лопиталя

1.3.1. Касательная к графику функции (кривой) , проведенная в точке , имеет уравнение

Нормаль, к графику функции (кривой) , проведенная в точке (т.е. перпендикуляр к касательной в точке касания) в том случае, если имеет уравнение

Пример. Составить уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением , в точке .

Решение. В нашем случае точка касания имеет (по условию задачи) координаты . Вычислим тогда . Уравнение или является уравнением касательной, а уравнение или есть уравнение нормали к заданной кривой в указанной точке.

Задачи для контрольной работы

1.3.1. Составить уравнение касательной и нормали к кривой, заданной уравнением , в точке :

1. 14.

2. 15.

3. 16.

4. 17.

5. 18.

6. 19.

7. 20.

8. 21.

9. 22.

10. 23.

11. 24.

12. 25.

13.

1.3.2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида и состоит в следующем: если существует предел вида , то

= .

Здесь а – некоторая точка или бесконечность любого знака.

Если отношение производных при снова есть неопределенность указанного выше вида, то правило можно применить снова, переходя ко вторым производным и т.д.

Пример. Вычислить .

Решение. Функции и бесконечно большие при , т.е. имеем неопределенность вида . Применяем правило Лопиталя:

= . Снова при имеем неопределенное выражение . Повторное применение правило Лопиталя приводит к следующему результату:

Задачи для контрольной работы

1.3.2. Вычислить пределы:

1. 10. 18.

2. 11. 19.

3. 12. 20.

4. 13. 21.

5. . 14. 22.

6. 15. 23.

7. 16. 24.

8. 17. 25.

9.

1.4. Применение производной к исследованию функций

1.4.1. Исследование по первой производной: монотонность, экстремумы

В основе исследования функции на монотонность (возрастание, убывание) и экстремумы (максимумы, минимумы) лежат следующие положения:

а) интервалы, где, служат интервалами возрастания функции ; на интервалах, где , функция убывает;

б) точки перемены знака с «+» на «-» служат точками максимума (точка наибольшего значения функции среди всех ее значений из некоторой окрестности этой точки) , а с «-» на «+» - точками минимума (точка наименьшего значения функции в некоторой окрестности).

1.4.2. Исследование по второй производной: характер выпуклости

Говорят, что дуга линии имеет определенный характер выпуклости, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем в двух точках. Такая дуга лежит по одну сторону от касательной, проведенной в любой точке дуги: если целиком ниже касательной, то дуга называется выпуклой (выпуклой вверх), а если выше – то вогнутой (выпуклой вниз).

В основе исследования функции на характер выпуклости лежат следующие положения:

а) интервалы, где , служат интервалами вогнутости графика функции ; на интервалах, где , график функции выпукл;

б) точки перемены знака второй производной служат точками перегиба графика, т.е. точками перемены характера выпуклости.