1.3. Касательная и нормаль. Правило Лопиталя
1.3.1. Касательная к графику
функции (кривой)
,
проведенная в точке
,
имеет уравнение
Нормаль, к графику функции (кривой)
,
проведенная в точке
(т.е. перпендикуляр к касательной в точке
касания) в том случае, если
имеет уравнение
Пример. Составить уравнения
касательной и нормали к кривой, заданной
уравнением
,
в точке
.
Решение. В нашем случае точка касания
имеет (по условию задачи) координаты
.
Вычислим
тогда
.
Уравнение
или
является уравнением касательной, а
уравнение
или
есть уравнение нормали к заданной кривой
в указанной точке.
Задачи для контрольной работы
1.3.1.
Составить уравнение касательной
и нормали к кривой, заданной уравнением
,
в точке
:
1.
14.
2.
15.
3.
16.
4.
17.
5.
18.
6.
19.
7.
20.
8.
21.
9.
22.
10.
23.
11.
24.
12.
25.
13.
1.3.2. Правило Лопиталя раскрытия
неопределенностей вида
и
состоит в следующем: если существует
предел вида
,
то
=
.
Здесь а – некоторая точка или бесконечность любого знака.
Если отношение производных при
снова есть неопределенность указанного
выше вида, то правило можно применить
снова, переходя ко вторым производным
и т.д.
Пример.
Вычислить
.
Решение. Функции
и
бесконечно большие при
,
т.е. имеем неопределенность вида
.
Применяем правило Лопиталя:
=
.
Снова при
имеем неопределенное выражение
.
Повторное применение правило Лопиталя
приводит к следующему результату:
Задачи для контрольной работы
1.3.2. Вычислить пределы:
1.
10.
18.
2.
11.
19.
3.
12.
20.
4.
13.
21.
5.
. 14.
22.
6.
15.
23.
7.
16.
24.
8.
17.
25.
9.
1.4. Применение производной к исследованию функций
1.4.1. Исследование по первой производной: монотонность, экстремумы
В основе исследования функции на монотонность (возрастание, убывание) и экстремумы (максимумы, минимумы) лежат следующие положения:
а) интервалы, где, служат интервалами
возрастания функции
;
на интервалах, где
,
функция убывает;
б) точки перемены знака с «+» на «-» служат точками максимума (точка наибольшего значения функции среди всех ее значений из некоторой окрестности этой точки) , а с «-» на «+» - точками минимума (точка наименьшего значения функции в некоторой окрестности).
1.4.2. Исследование по второй производной: характер выпуклости
Говорят, что дуга линии имеет определенный характер выпуклости, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем в двух точках. Такая дуга лежит по одну сторону от касательной, проведенной в любой точке дуги: если целиком ниже касательной, то дуга называется выпуклой (выпуклой вверх), а если выше – то вогнутой (выпуклой вниз).
В основе исследования функции на характер выпуклости лежат следующие положения:
а) интервалы, где
,
служат интервалами вогнутости графика
функции
;
на интервалах, где
,
график функции выпукл;
б) точки перемены знака второй производной
служат точками перегиба графика, т.е.
точками перемены характера выпуклости.