УДК

ББК

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Рецензент

Кандидат технических наук доцент ГОУ ВПО ТГТУ

Е.Е. Мордовина

	Нахман А. Д., Петрова Е.А.
	«Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных»: Методические указания и контрольные задания. Тамбов: Изд-во ГОУВПО ТГТУ, 2012. - 32 с. ISBN
	Приведены краткие теоретические сведения и алгоритмы решения стандартных задач по разделу курса математики "Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных". Предложены 25 вариантов контрольных заданий. Для студентов очной и заочной форм обучения.

Введение

Настоящие методические разработки подготовлены в соответствии с требованиями ФГОС ВПО к основным образовательным программам естественно-математической подготовки бакалавров. Издание адресовано студентам 1 курса инженерных направлений. Целью издания является формирование и закрепление навыков в области решения задач по дифференциальному исчислению функций одной и нескольких переменных. В силу ограниченного объема работы авторы избегали точных формулировок основных определений и теорем, ограничиваясь объяснением смысла понятий и утверждений. По этой причине, студенту предварительно следует ознакомиться с соответствующим теоретическим материалом по учебнику или конспекту лекций.

Работа построена по модульному принципу. Речь идет о следующих модулях содержания:

предел и производная функции одной переменной, приложения производной (в том числе, к исследованию функций), частные производные функций нескольких переменных, приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных (в том числе, в теории скалярного поля и к исследованию экстремального поведения функций).

Образцы решений типовых задач предваряются изложением соответствующего алгоритма. Каждый параграф заканчивается перечнем контрольных заданий. Задачи составлены так, чтобы в процессе их решения не возникали технические трудности, преодоление которых «затушевывает» суть дела. Преподаватель, по своему усмотрению, может варьировать объем и уровень трудности заданий. Так, например, в заданиях на исследование функции минимальные требования могут быть сведены лишь к применению первой производной (исследование характера монотонности и экстремумов функции). Банк предлагаемых здесь задач может быть использован для формирования контрольных работ, адресованных студентам как очной, так и заочной форм обучения.

1.Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1.1. Предел функции одной переменной

1.1.1. Понятие предела – одно из основных в математическом анализе. Не приводя строгих определений, объясним смысл указанного понятия. Пусть дана функция и значения аргумента х неограниченно приближаются к значению , но не совпадают с (что будем записывать в виде ). Если при этом оказывается, что значения становятся сколь угодно близкими к некоторому числу А, то говорят, А есть предел функции в точке и записывают

.

В случае, когда значения аргумента х неограниченно растут по модулю, оставаясь при этом положительными (отрицательными), мы записываем ( ). Если не принципиально, какого знака значения аргумента х, то употребляем символ Запись означает, что значения становятся сколь угодно близкими к числу А при Говорят также, что число А есть предел функции на бесконечности.

Если в (любом из трех рассмотренных случаев) А=0, то функция называется бесконечно малой.

Возможен также случай, когда значения функции неограниченно растут (к или - ) при стремлении аргумента х к некоторому или к бесконечности. В этих случаях записывают соответственно

и ,

а функцию называют бесконечно большой (при и соответственно).

Следует заметить, что если функция - бесконечно большая (бесконечно малая), то функция бесконечно малая (бесконечно большая).

Если рассмотреть, в частности, функцию натурального аргумента (последовательность) , то к ней применимо определение предела на бесконечности; используют запись

.

1.1.2. Всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения . Это означает возможность перехода к пределу под знаком функции во всякой точке : .

Этим свойством пользуются при вычислении пределов. Кроме того, при выполнении арифметических операций над функциями соответствующие операции выполняются и над их пределами.

1.1.3. Неопределенностями (при или ) называются такие выражения (под знаком предела), которые при формальной подстановке вместо аргумента х предельного значения ( или ) принимают вид , и др.

1.1.4. Приемы вычисления пределов. Вычисление пределов рациональных или иррациональных дробей на бесконечности может быть произведено путем одновременного деления числителя и знаменателя на старшую степень аргумента, чем достигается переход от бесконечно больших к бесконечно малым. Продемонстрируем прием на следующем примере.

Пример. Вычислить .

Решение. Имеем бесконечно большие в числителе и знаменателе дроби; следовательно, выполняем одновременное деление на старшую степень аргумента, т.е. на

=

Теперь имеем бесконечно малую в знаменателе дробь и функцию, стремящуюся к в числителе, т.е. дробь оказывается бесконечно большой. Ответ записываем в виде

.

Пример. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, т.е. на и сократим числитель и знаменатель на общий множитель х , (который при не равен нулю). В результате имеем

так что искомый предел равен 0,5.

1.1.5. Замечательные пределы.

1) При отношение представляет собою неопределенность вида . Можно доказать, что .

2) При показательно-степенное выражение вида представляет собою неопределенность вида . Можно доказать, что соответствующий предел существует и равен некоторому иррациональному числу е=2,7…: .

Рассмотренные пределы называются , соответственно, первым и вторым замечательными пределами. Второй замечательный предел может быть также записан в равносильной форме

.

Пример. Вычислить a) , б) , в) .

Решение. а) Имеем неопределенность вида . Заметим, что при (см. первый замечательный предел) отношение (вместе с ) стремится к единице. При вычислении предела отношения можно снова воспользоваться первым замечательным пределом, если положить и заметить, что при . Остается выполнить преобразование

=

и закончить вычисление:

=3

б) Имеем «комбинированную» неопределенность вида . Если выделить в скобках в качестве слагаемого число 1, то станет возможным использование второго замечательного предела:

= .

Теперь при , поэтому в показателе степени удобно выделить выражение вида , т.е. :

= .

Теперь, пользуясь свойством непрерывности показательно-степенной функции, перейдем по-отдельности к пределу в основании и показателе степени:

(второй замечательный предел при ),

Имеем .

в) Непосредственная подстановка значения приводит к неопределенному выражению вида . Снова используем прием выделения слагаемого, равного 1:

=

Задачи для контрольной работы

Вычислить пределы:

1. а) б) в)

2. а) б) в)

3. а) б) в)

4. а) б) в)

5. а) б) в)

6. а) б) в)

7. а) б) в)

8. а) б) в)

9. а) б) в)

10. а) б) в)

11. а) б) в)

12. а) б) в)

13. а) б) в)

14. а) б) в)

15. а) б) в)

16. а) б) в)

17. а) б) в)

18. а) б) в)

19. а) б) в)

20. а) б) в)

21. а) б) в)

22. а) б) в)

23. а) б) в)

24. а) б) в)

25. а) б) в)