Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Иркутский национальный исследовательский технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика МУ ФЭПО.docx

Скачиваний:

Добавлен:

31.12.2019

Размер:

3.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Раздел 6. Численные методы

Приближённые решения конечных уравнений.

Численные решения уравнений f(x) = 0 складываются из 2-х этапов.

1. Отделение корней, то есть установление промежутков, внутри которых находится один и только один корень (интервал изоляции корня).

2. Вычисление корней с заданной степенью точности.

Отделение корней

1. Аналитический способоснован на свойствах непрерывных функций на

отрезке и монотонности функций.

Если f(x) непрерывна на [ и то f(x) пересекает ось ох в точке с [ ;

f(x)

[

0 bx

2.Графический способ

П усть требуется определить интервал изоляции корня для уравнения f(x) = f₁(x) + f₂(x) = 0 . Корень этого уравнения это точка пересечения графиков y = f₁(x) и y= f₂ (x) . yy₂

y₁

0 x₀x

Для приближенного нахождения х^* отрезок [ делят пополам и вычисляют значение f(x₁) в средней точке x₁=( )/2. Если отрезка два, то из двух отрезков [ , х₁]и [ х₁, b] для последующего деления пополам выбирается тот, на концах которого значения функции различны по знаку. Возникающая в процессе такого дробления последовательность середин отрезков х₁, х₂, . . . сходится к корню х * со скоростью геометрической прогрессии

Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени для таблицы вида

имеет вид

Приближённое значение функции имеет вид

Приближенное значение функции двух переменных имеет вид

Численное интегрирование

Приближённое вычисление определённых интегралов

Пусть на задана непрерывная функция y . , , … ,

Тогда

- формула «левых» прямоугольников

- формула «правых» прямоугольников

– формула трапеций

, где n=2m , – формула парабол или Симпсона

Ряды Тейлора и Маклорена

Ряд Тейлора:

Ряд Маклорена:

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Контрольные задания к разделу №6

1 Численные методы решения алгебраических уравнений

1.1

Положительный корень уравнения =0 принадлежит интервалу:

А)

В)

С)

Решение:

1.2

Три итерации метода половинного деления при решении уравнения на отрезке требуют последовательного вычисления значения функции в точках:

А) х₁=4 х₂=2 х₃=3

B) х₁=4 х₂=6 х₃=5

C) х₁=4 х₂=3 х₃=2

D) х₁=1 х₂=2 х₃=3

Решение:

Выберем отрезок

Х₁=(0+8)/2=4

Выберем отрезок

Выбранный отрезок не подходит так как

Выберем отрезок

Х₂=(0+4)/2=2

Выберем отрезок

Х₃=(2+4)/2=3

х₁=4 х₂=2 х₃=3

1.3

Действительный корень уравнения =0 принадлежит интервалу

А)

В)

С)

Решение

х=0

1.4

Положительный корень уравнения =0 принадлежит интервалу:

А)

В)

С)

Решение

y₁=lnxy₂=1/x

1.5

А) х₁=4 х₂=2 х₃=3

В) х₁=4 х₂=2 х₃=1

С) х₁=4 х₂=1 х₃=2

D) х₁=3 х₂=2 х₃=1

Решение:

Выберем отрезок

Х₁=(0+8)/2=4

Выберем отрезок

Х₂=(0+4)/2=2

Выберем отрезок

не подходит

Выберем отрезок

Х₂=(0+2)/2=1

В) х₁=4 х₂=2 х₃=1

Численное дифференцирование и интегрирование

2.1

Значение функции в точке можно вычислить по формуле:

А) ;

В) ;

С) ;

D) .

Решение

; ;

2.2

Значение функции в точке можно вычислить по формуле:

А) ;

В) ;

С) ;

D) ;

Решение

; ;

;

2.3

Значение дифференцируемой функции в точке х=2,28 можно приближённо найти как

А)

В)

С)

Решение

2.4

Значение с использованием приближённой формулы

с точностью до 0,01 равно

А) 4,08

В)

С) 4,13

D) 4,09

Решение:

x₀ + =65 x₀ =64

2.5

Значение c использованием формулы c точностью до 0,01 равно

А) 0,8

В)

С) 0,9

D) 0,73

Решение

x₀ + =1,03 x₀ =1

2.6

Значение дифференциала функции

в точке (1,08;-1,01) равно

А) -0,035

В)

С) -0,045

D) –

Решение

x₀ + =1,08 x₀ =1

у₀ + =-1,01 у₀ =-1

Тогда

2.7

Значение дифференцируемой функции

в точке (2,01; 2,08) можно приближённо найти как

А)

В)

С)

Решение

x₀ + =2,01 x₀ =2

у₀ + =2,08 у₀ =2

2.8

Значение дифференцируемой функции в точке х=0,97можно приближённо найти как

А)

В)

С)

Решение

_x₀ =1

2.9

Значение интеграла с точностью до 0,1 равно

А) 0,8

В) 0,9

С) 1

D) 0,6

Решение

2,10

Значение интеграла с точностью до 0,01 равно

А) 0,9

В) 0,98

С) 1

D) 0,94

Решение

2.11

Значение определённого интеграла по формуле прямоугольников можно найти:

А)

В)

С)

Решение

Разделим отрезок [ точками на n равных частей длины

Пусть

2.12

Значение определённого интеграла по формуле трапеций можно найти:

А)

В)

С)

Решение

Разделим отрезок [ точками на n равных частей длины

Пусть

Y₆=0,8

Интерполирование функций: Интерполяционный многочлен Лагранжа

3.1

График функции проходит через точки

х_i	1	2	3
у_i	3	4	7

Тогда её интерполяционный многочлен второго порядка равен:

А)

В)

С)

Решение:

Способ1

Подставим значения х в многочлен

Р(1)=1-3+5=3 р(2)=4-6+5=3 Р(3)=9-9+3=3

Подставим значения х в многочлен)

Р(1)=1-1+3=3 р(2)=4-2+3=5 Р(3)=9-3+3=9

Подставим значения х в многочлен

Р(1)=1-2+4=3 р(2)=4-4+4=4 Р(3)=9-6+4=7

После подстановки значений х в многочлен получили

Р(1)=у₁=3 Р(2)=у₂=4 Р(3)=у₃=7

ответ

Способ2

3.2

График функции проходит через точки

х_i	0	2	3
у_i	-2	2	4

Тогда её интерполяционный многочлен второго порядка равен

А)

В)

С)

Решение:

Подставим значения х в многочлен

Р(1)=0-2=-2 р(2)=4+8-2=10 Р(3)=9+12-2=19

Подставим значения х в многочлен

Р(1)=0- =- р(2)= Р(3)=11-

Подставим значения х в многочлен

Р(1)=-2 р(2)= Р(3)=24-0,75-2=21,25

Подставим значения х в многочлен

Р(1)=0-2=-2 р(2)=4-2=2 Р(3)=6-2=4

После подстановки значений х в многочлен получили

Р(1)=у₁=-2 Р(2)=у₂=2 Р(3)=у₃=4

Ответ:

3.3

Интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени

Р(х)= может быть составлен по таблице значений функции у=у(х):

А)

х_i	-2	0	2
у_i	4	-1	2

В)

х_i	-2	0	2
у_i	4	0	2

С)

х_i	-2	0	2
у_i	2	-1	2

х_i	-2	0	2
у_i	4	-1	-3

Решение:

Подставим значения х в многочлен Р(х)=

Р(-2)=4+1-1=4 Р(0)==-1 Р(2)=4-1-1=2

После подстановки значений х в многочлен получили

Р(-2)=у₁=4 Р(0)=у₂=-1 Р(2)=у₃=2

Ответ:

х_i	-2	0	2
у_i	4	-1	2

3.4

Функция представлена таблицей

х_i	2	3	4
у_i	-1	0	1

Тогда значение f(-1), вычисленное с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, равно

А) - 2

В) - 4

С) 4

D) - 3

Решение.

Р(х)=

Р(-1)=-1-3= - 4

3.5

Функция представлена таблицей

х_i	-3	-2	0
у_i	3	2	6

Тогда значение f(-1), вычисленное с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, равно:

А) 2

В) 1

С) 6

D) 3

Решение.

Р(х)=3

Р(-1)=1-4+6=3

3.6

Интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени

Р(х)= может быть составлен по таблице значений функции у=у(х):

А)

х_i	2	3	4
у_i	-1	0	5

В)

х_i	2	3	4
у_i	1	0	5

С)

х_i	2	3	4
у_i	-1	2	5

х_i	2	3	4
у_i	-1	0	1

Решение.Подставим значения х в многочлен Р(х)=

Р(2)=8-18+9=-1 Р(3)=18-27+9=0 Р(4)=32-36+9=5

После подстановки значений х в многочлен получили

Р(2)=у₁=-1 Р(3)=у₂=0 Р(4)=у₃=5

Ответ:

х_i	2	3	4
у_i	-1	0	5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.12.2019119.81 Кб0Лекция 2.ОСНОВНЫЕ ФОНДЫ ПРЕДПРИЯТИЙ.doc
#
26.12.201934.3 Кб0Лекция 5.Оплата труда.doc
#
08.01.2020224.26 Кб0ЛР 3 Поверка и определение погрешностей аналого...doc
#
31.12.201911.96 Mб0ЛР_ЭМС.doc
#
04.01.2020518.14 Кб0МАКРОЭКОНОМИКА. рабочая тетрадь..doc
#
31.12.20193.35 Mб0Математика МУ ФЭПО.docx
#
08.01.202011.92 Mб0Маткад.doc
#
01.01.202083.97 Кб0Мет._указ._по_прохождению_практики.doc
#
01.01.2020344.58 Кб0метод указ расчет раб.doc
#
31.12.2019634.37 Кб0Метод указания по практическим работам.doc
#
31.12.20199.67 Mб1Метод. указ. по лаб. раб. Прим. МС.doc