Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Иркутский национальный исследовательский технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика МУ ФЭПО.docx

Скачиваний:

Добавлен:

31.12.2019

Размер:

3.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

3. Векторная алгебра

Понятие вектора. Основные операции над векторами.

-трёхмерное декартово пространство; – двумерное декартово пространство – плоскость; - одномерное декартово пространство – прямая.

Вектором называется направленный отрезок прямой. Обозначается , А – начало, В – конец вектора, или .

Длинавектора – это его модуль, абсолютная величина, обозначается , .

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.

В екторы называются коллинеарными (обозначается ), если они лежат на одной, либо на параллельных прямых, их можно всегда представить:

В екторы называются компланарными, если они лежат в одной, либо в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если

1) коллинеарны,

2) имеют одинаковое направление,

3) имеют равные длины.

С уммой двух векторов называют вектор, выходящий из начала первого в конец второго, при условии, что начало совпадает с концом .

Суммой нескольких векторов называется вектор, который замыкает ломаную, составленную из векторов слагаемых .

Правило параллелограмма

Е сли векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма этих векторов представляет собой вектор, направленный по диагонали, выходящей из общего начала, а разность направлена по второй диагонали, причём вектор разности направлен в сторону уменьшаемого.

Произведениемвектора на вещественное число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) коллинеарен вектору ;

3 ) векторы и направлены одинаково, если и противоположны, если < 0 , если же =0 , то = 0 .

Ортогональной проекцией вектора на ось называется величина отрезка А’B’ оси.

Обозначается: .

Теорема. Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью .

Координатами вектора являются проекции вектора на оси координат.

Пусть тогда длина (модуль) вектора равна .

Рассмотрим вектор где А( и В ( , тогда модуль вектора

Если – углы, образованные вектором с осями координат, то имеет место равенство

Условие коллинеарности векторов в координатной форме

Вектор единичной длины, имеющий направление вектора , называется его ортом и обозначается

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

Работа равна скалярному произведению векторов силы и пути

Свойства скалярного произведения

1. ( следует из определения;

2. ( ;

3. ( = ( ;

4.Если , так как ;

5. ( ⁰ ( ²или

6. ( =

7. ( ) =

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме

Условие перпендикулярности векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет 3- м условиям:

1) ;

2) Вектор и ;

3) Вектор направлен так, что образует правую тройку с векторами и .

Обозначается или .

М одуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях.

Координатная форма векторного произведения

где = { X₁ , Y₁ Z₁ } ; = { X₂ ,Y₂,Z₂ }

С мешанным произведением 3-х векторов , называется скалярное произведение вектора [ на вектор , ([ . Обозначается: ( или (

Смешанное произведение векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах сомножителях .

Пустьвектор = { X₁ , Y₁Z₁ } ; вектор = { X₂ ,Y₂,Z₂ } ; вектор = {X₃,Y₃,Z₃}.

Координатная форма смешанного произведения

Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Полярная система координат

Полярная система координат состоит из начала точки О, называемой полюсом и лучом ОМ , соединяющем полюс с произвольной точкой М плоскости.

–полярный радиус-вектор точки, угол , образованный лучом ОМ и полярной осью - полярный угол точки. Угол считается положительным при отсчёте от полярной оси против часовой стрелки.

Если точка М имеет полярные координаты и то ей же отвечает и бесчисленное множество пар полярных координат ( и [- .

Если начало декартовой прямоугольной системы координат совместить с полюсом, а ось Оx направить по полярной оси, то прямоугольные координаты x и y точки М и её полярные координаты будут связаны следующими формулами:

, .

Различные виды уравнения прямой на плоскости

- общее уравнение прямой.

1) С=0, Ax+By=0 - прямая проходит через начало координат.

2) B=0, Ax+C =0 - прямая параллельна оси оy.

3) A=0, By+C =0 - прямая параллельна оси ox.

4) B=C=0, Ax=0 , x=0 - ось oy.

5) А=С=0, Вy =0, y=0 - ось оx.

-уравнение прямой в отрезках, a и b отрезки, отсекаемые прямой от осей координат соответственно оx, оy.

-каноническое уравнение прямой.

Вектор коллинеарный прямой, называется направляющим вектором прямой.

1) Если то прямая параллельна оси оy.

2) Если m=0, то прямая параллельна оси оx.

Введя обозначения , получим

-параметрические уравнения прямой.

-уравнение прямой, проходящей через две точки.

-уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку.

- уравнение прямой с угловым коэффициентом, где b отрезок, который прямая отсекает от оси ординат.

Взаимное расположение прямых на плоскости

- угол между двумя прямыми.

- условие перпендикулярности прямых.

- условие перпендикулярности.

- условие параллельности прямых.

- условиепараллельности.

- расстояние от точки до прямой.

Кривые второго порядка

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени A

1 ) Окружность – геометрическое место точек равноудалённых от одной точки, называемой центром.

Каноническое уравнение окружности

-центр окружности,

r – радиус окружности

2) Эллипс - множество точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от 2-х данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (при условии, что эта величина больше расстояния между фокусами).

каноническое уравнение эллипса,

где ; 2b – малая ось; 2 – большая ось.

эксцентриситет эллипса.

3) Гипербола– геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от 2-х данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (при условии, что эта величина не равна нулю и меньше расстояния между фокусами).

– каноническое уравнение гиперболы, где ;

2b – мнимая ось; 2 – действительная ось. - асимптоты гиперболы;

– эксцентриситет гиперболы.

4) Парабола– множество точек, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой (фокус не лежит на директрисе).

– каноническое уравнение параболы.

Если уравнение параболы имеет вид , то парабола симметрична относительно оси оy, а уравнение директрисы .

Различные виды уравнения плоскости в

- уравнение плоскости через заданную точку.

общее уравнение плоскости.

Неполные уравнения плоскости

В общем уравнении полагаем:

1) D = 0,Ax + By + Cz = 0 , плоскость проходит через начало координат.

2) A = 0,By + Cz + D = 0 , плоскость параллельна оси ox.

A =D =0,By +Cz =0, плоскость проходит через ось ox.

3) В = 0,Аx +Cz +D = 0 , плоскость параллельна оси оy.

B =D = 0,Ax + Cz = 0, плоскость проходит через ось оy.

4) C = 0,Ax + By + D = 0 , плоскость параллельна оси oz.

C = D =0,Ax + By = 0, плоскость проходит через ось oz.

5) А = В =0,Сz + D = 0 , плоскость параллельна координатной плоскости XOY.

6) A =C = 0,By + D = 0 , плоскость параллельна координатной плоскости XOZ.

7) B = C = 0,Ax + D = 0, плоскость параллельна координатной плоскости YOZ.

8) A =B = D = 0,Cz = 0 или z = 0 , координатная плоскость XOY.

9) B =C = D = 0,Ax = 0 или x = 0 , координатная плоскость YOZ.

10) А = С = D = 0,By = 0 , координатная плоскость XOZ.

- уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c-отрезки, которые плоскость отсекает от осей координат.

- уравнение плоскости, проходящей через три точки.

- нормальное уравнение плоскости , где величина р равна ортогональной проекции радиуса вектора фиксированной точки плоскости на единичный вектор нормали.

Взаимное расположение плоскостей

- угол между плоскостями.

- условие перпендикулярности плоскостей.

- условие параллельности плоскостей.

- формула расстояния от точки до плоскости.

Прямая в пространстве

Линию в пространстве рассматривают, как множество всех точек, принадлежащих двум пересекающимся поверхностям и

- общее уравнение прямой.

- канонические уравнения прямой.

- параметрические уравнения прямой.

- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Взаимное расположение 2-х прямых

1)Угол между двумя прямыми

2) Условие параллельности

3)Условие перпендикулярности

Взаимное расположение прямой и плоскости

1) Угол между прямой и плоскостью.

2) Условие параллельности прямой и плоскости

3) Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Контрольные задания к разделу №1

Определители
1.1	Условие		Варианты
	Определитель равен		А) 6 В)-52 С)5 D)2
	Решение
1.2	Условие		Варианты
	Определитель равен		А) -3 В)-1 С)0 D)-1
	Решение
1.3	Условие		Варианты
	Определитель равен нулю при к равном		А) 0 В)-3 С)2 D)-2
	Решение
1.4	Условие		Варианты
	При каких а обращается в нуль определитель		А) 3 В)-3 С) D)
	Решение
1.5	Условие		Варианты
	Определитель равен		А) 30 В)-30 С)-2 D)2
	Решение
1.6	Условие		Варианты
	Определитель матрицы равен		А) 46 В)-46 С)-26 D)26
	Решение
1.7	Условие		Варианты
	Формула вычисления определителя третьего порядка содержит следующие произведения		А) ykn В)ykp С)ymn D)yzp
	Решение
Матрицы
2.1	Условие		Варианты
	Произведение матриц А= и В= равно		А) В) С) D)
	Решение
2.2	Условие			Варианты
	Произведение матриц равно			А) В) С) D)
	Решение =
2.3	Условие		Варианты
	Даны матрицы А= В= Сумма элементов матрицы ВА расположенных на главной диагонали равна			А) -4 В) -2 С) 12 D) 6
	Решение , -1-4+3=-2
2.4	Условие		Варианты
	Для матрицы А= элемент в₁₂ матрицы В=А^Т равен		А) 2 В)4 С) -3 D) 5
	Решение В=А^Т= в₁₂=а₂₁=4
2.5	Условие					Варианты
	При каком матрица вырожденная					А) 2 В) 0 С) D) 4
	Решение Для вырожденной матрицы det A=0 det
2.6	Условие				Варианты
	Произведение матриц и равно				А) В) С) D)
	Решение
2.7	Условие				Варианты
	Произведение матриц с размерностью и возможно при				А) m=2 k=3 В) m=1 k=2 С) m=3 k=1 D) m=2 k=1
	Решение Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В и получается матрица, у которой, столько строк сколько их имеет матрица - множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица - множитель. m=2k m=2 k=1
2.8	Условие				Варианты
	Матрица А имеет размерность , матрица В имеет размерность . Тогда матрица С-=АВ будет иметь размерность				А) , В) , С) , D) ,
	Решение Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В и получается матрица, у которой, столько строк сколько их имеет матрица - множимое (А) и столько столбцов, сколько их имеет матрица - множитель (В). Матрица С будет иметь размерность
2.9	Условие		Варианты
	Если А= В= тогда матрица С=2А+В имеет вид		А) В) С) D)
	Решение
2.10	Условие		Варианты
	Если А= и В= тогда С=А-2В имеет вид		А) В) С) D)
	Решение -
2.11	Условие		Варианты
	Дана матрица А= Тогда матрица А² имеет вид		А) В) С) D)
	Решение А²=
2.12	Условие		Варианты
	Дана матрица А= . Тогда матрица А² имеет вид		А) В) С) D)
	Решение А²=
2.13	Условие		Варианты
	Разность между числом базисных переменных и свободных переменных системы уравнений равна		А) 5 В) 1 С) 3 D) 4
	Решение А= Rg=3 - базисные переменные, n-r=5-3=2 свободные переменные разность 3-2=1
2.14	Условие		Варианты
	Ранг матрицы равен		А) 0 В) 2 С) 4 D) 3
	Решение Все строки линейно независимы. Rg=3
2.15	Условие		Варианты
	Ранг матрицы равен двум при равном		А) -6 В) 0 С) -18 D) 3
	Решение
2.16	Условие		Варианты
	Матрица не имеет обратной при равном		А) 2 В) 0,5 С) 0 D) -2
	Решение Матрица не имеет обратной, если det A=0
2.17	Условие		Варианты
	Ранг матрицы равен двум при равном		А) -5 В) 4 С) -7 D) 7
	Решение ,
2.18	Условие		Варианты
	Матрица не имеет обратной, при		А) В) С) D)
	Решение Матрица не имеет обратной, если det A=0
	Векторы
3.1	Условие		Варианты
	Даны Тогда проекция вектора ( )на ось ОХ равна		А) 4 В) 5 С) 3 D) -3
	Решение ( Пр_ох(
3.2	Условие		Варианты
	Косинус угла между векторами равен		А) В) С) D)
	Решение
3.3	Условие		Варианты
	Даны точки А (1;0), В (-2; -4), С(1; - 4). Установите соответствие между отрезком !) 2) , 3) и его длиной		А) 5 В) 7 С) 4 D) 3
	Решение – А 2) – С 3) - D
3.4	Условие		Варианты
	Точка В (6;-3) является серединой отрезка АС, где А (0;1). Тогда точка С имеет координаты		А) (3; -1) В) (-5; 4) С) (12; -7) D) (6; -3)
	Решение Х_В= У_В= Х_с=12 У_с= - 7
3.5	Условие		Варианты
	Расстояние между точками А( -3; -1) и В (9;4) равно		А) 13 В) 17 С) 5 D)
	Решение
3.6	Условие		Варианты
	Векторы перпендикулярны при m равном		А) 2 В) -1 С) 2,5 D) -2
	Решение Если , так как ; m=2
3.7	Условие		Варианты
	Векторы перпендикулярны при m равном		А) 2.5 В) -0.5 С) -2,5 D) 0.5
	Решение Если , так как ; m= - 2.5
3.8	Условие		Варианты
	Векторы компланарны при m равном		А) 2 В) -2 С) 3 D) -3
	Решение Векторы компланарны, если 4+2m=0 m= - 2
3.9	Условие		Варианты
	Если ; тогда угол векторами равен		А) В) С) D) 0
	Решение
3.10	Условие		Варианты
	Упрощение выражения приводит его к виду		А) В) С) D)
	Решение
3.11	Условие		Варианты
	Упрощение выражения приводит его к виду		А) В) С) 2 D)
	Решение
3.12	Условие		Варианты
	Упрощение выражения приводит его к виду		А) В) С) D)
	Решение =
3.13	Условие		Варианты
	Упрощение выражения приводит его к виду		А) В) С) D)
	Решение
Аналитическая геометрия
4.1	Условие		Варианты
	Точка А задана в прямоугольной системе координат . Тогда её полярные координаты равны		А) В) С) D)
	Решение , .
4.2	Условие		Варианты
	Точка А задана в прямоугольной системе координат . Тогда её полярные координаты равны		А) В) С) D
	Решение , .
4.3	Условие		Варианты
	Точка А задана в прямоугольной системе координат . Тогда её полярные координаты равны		А) В) С) D
	Решение , .
4.4	Условие		Варианты
	Точка А(6; ) задана в полярной системе координат. Тогда в прямоугольной системе координат точка имеет вид		А) В) С) (5;30) D)
	Решение х=
4.5	Условие		Варианты
	Точка А(2; ) задана в полярной системе координат. Тогда в прямоугольной системе координат точка имеет вид		А) В) С) D)
	Решение х=
4.6	Условие		Варианты
	Даны точки А (0;1) и С (6;-3) Тогда сумма координат середины отрезка АС равна		А) 5 В) 19 С) 2 D) 4
	Решение Х_В= У_В= Х_В=3 У_В= - 1
4.7	Условие		Варианты
	Полярное уравнение окружности имеет вид		А) В) С) D)
	Решение
4.8	Условие				Варианты
	Радиус окружности равен				А) 5 В) 4 С) 3 D) 2
	Решение ( уравнение окружности R=5
4.9	Условие		Варианты
	Радиус окружности равен		А) В) 1 С) 3 D) 2
	Решение ( уравнение окружности R=1
4.10	Условие		Варианты
	Расстояние между центрами окружностей, заданных уравнениями и равно		А) 3 В) С) D)
	Решение Приведём к каноническому виду уравнение первой окружности Центр ревой окружности находится в точке С(2;1), центр второй окружности в точке О(0;0). Найдём расстояние между точками О и С.
4.11	Условие		Варианты
	Расстояние между фокусами эллипса равно		А) 10 В) 8 С) 12 D) 18
	Решение
4.12	Условие		Варианты
	Какое из уравнений определяет гиперболу 1) 2) 3) 4)		А) 1 В) 2 С) 3 D) 4
	Решение Уравнение гиперболы Следовательно 2
4.13	Условие		Варианты
	Расстояние между фокусами гиперболы равно		А) 2 В) С) D)
	Решение
4.14	Условие		Варианты
	Если уравнение окружности имеет вид , то его центром С и радиусом r являются		А) С(1;1) r=4 В) С(-1;-1) r=4 С) С(1;1) r=16 D)С(-1;-1) r=16
	Решение ( уравнение окружности C(х_о;у_о)-центр окружности Следовательно С(1;1) r=4
4.15	Условие		Варианты
	Если уравнение эллипса имеет вид , то длина его большей полуоси равна		А) 5 В) 11 С) 25 D)
	Решение a.b- полуоси тогда большая полуось равна 5
4.16	Условие		Варианты
	Если уравнение эллипса имеет вид , то длина его меньшей полуоси равна		А) 3 В) 9 С) 16 D)
	Решение a.b- полуоси тогда меньшая полуось равна 3
4.17	Условие		Варианты
	Если уравнение гиперболы имеет вид , то длина её действительной полуоси равна		А) 8 В) 15 С) 64 D)
	Решение a.- действительная полуось тогда действительная полуось равна 8
4.18	Условие		Варианты
	Острый угол между прямыми L_1:2х-у+4=0 и L_2: - 3х-у+3=0 равен		А) В) С) D)
	Решение Следовательно, острый угол равен
4.19	Условие		Варианты
	Синус угла между прямой и плоскостью х-2у-3z+9=0		А) В) С) D)
	Решение Направляющий вектор прямой Нормальный вектор плоскости
4.20	Условие		Варианты
	Нормальный вектор плоскости х-4у-8z+3=0 имеет координаты		А) (-4;-8;-3) В) (1; 4; 8) С) (1; -4; -8) D) (-3; -8; -3)
	Решение Нормальный вектор плоскости
4.21	Условие		Варианты
	Уравнение прямой имеет вид		А) 2х+3у=1 В) С) D) 3х+2у-4=0
	Решение уравнение в отрезках примет вид
4.22	Условие		Варианты
	Среди плоскостей 1) – х+2у+z-1=0 2) 3х+6у-9z-5=0 3) 2х+4у+6z-7=0 4) х-2у+z -7= 0		А) 1и4 В) 1и2 С) 3и4 D) 2и4
	Решение Нормальные векторы Условием ортогональности векторов является
4.23	Условие		Варианты
	Прямая параллельна плоскости при b равном		А) -1 В) -3 С) -9 D) 6
	Решение Направляющий вектор прямой Нормальный вектор плоскости Условие параллельности прямой и плоскости b – 6 + 15=0 b= - 9
4.24	Условие		Варианты
	В пространстве имеется отрезок, соединяющий две точки с аппликатами одинаковых знаков. Тогда этот отрезок не может пересекать		А) плоскость ОХУ В) плоскость ОХZ С) плоскость ОУZ D) ось ординат
	Решение Отрезок не может пересекать плоскость ОХУ
4.25	Условие		Варианты
	В пространстве имеется отрезок, соединяющий две точки с нулевыми абсциссами. Тогда этот отрезок целиком лежит в плоскости		А) плоскости ОХУ В) плоскости ОХZ С) плоскости ОУZ D) на оси абсцисс
	Решение Отрезок лежит в плоскости ОУZ
4.26	Условие		Варианты
	В пространстве имеется отрезок, соединяющий две точки с аппликатами разных знаков. Тогда этот отрезок обязательно пересекает		А) плоскость ОХУ В) плоскость ОХZ С) плоскость ОУZ D) ось аппликат
	Решение Отрезок пересекает плоскость ОХУ
4.27	Условие		Варианты
	Уравнение прямой, параллельной у=3х-1 является		А) 3х - у+2=0 В) 3х+у-1=0 С) х+у-2=0 D) х-у-3=0
	Решение Для прямой у=3х-1 к=3, для параллельных прямых к₁=к₂ 3х - у+2=0 у=3х+2 к=3 следовательно прямые параллельны
4.27	Условие		Варианты
	Уравнение прямой, параллельной х+4 является		А) 4х - у+2=0 В) 4х+у-1=0 С) х+у-2=0 D) х-у-3=0
	Решение Для прямой х+4 к = - 1, для параллельных прямых к₁=к₂ х+у-2=0 х+2 к = - 1 следовательно прямые параллельны
4.28	Условие		Варианты
	Уравнение прямой, перпендикулярной является		А) х +6у-7=0 В) 6х - у-2=0 С) х+5у-2=0 D) 5х-у -3=0
	Решение - условие перпендикулярности прямых Для прямой у = 6х-5 Для х +6у-7=0
4.29	Условие		Варианты
	Если плоскость Ах+Ву +5z - 9=0 проходит через точку Т(2;-2;3), то А-В равно		А) 0 В) -3 С) 2 D) -2
	Решение Так как плоскость Ах+Ву +5z - 9=0 проходит через точку Т(2;-2;3), то 2А-2В+15-9=0 А-В= -3
4.30	Условие		Варианты
	Угловой коэффициент прямой 2х-4у+1=0 равен		А) 2 В) -4 С) 0,5 D) -0,5
	Решение Уравнение прямой с угловым коэффициентом 2х-4у+1=0 4у=2х+1 у=0,5х+0,25 к=0,5
4.31	Условие		Варианты
	Установить соответствие между уравнениями плоскостей и их расположением 1) 2х-3у+5z=0 2) 2z-3=0 3) -2у+3z+5=0 4) 4у+5z=0		А) проходит через ось ОУ В) проходит через ось ОХ С) параллельно плоскости ХОУ D)проходит через начало координат Е) параллельно оси ОХ
	Решение 2х-3у+5z=0 проходит через начало координат 2z-3=0 параллельно плоскости ХОУ -2у+3z+5=0 параллельно плоскости ХОУ 4у+5z=0 проходит через ось ОХ
4.32	Условие		Варианты
	Прямая параллельна плоскости при к равном		А) -1 В) - С) - D) 0
	Решение Направляющий вектор прямой Нормальный вектор плоскости Условие параллельности прямой и плоскости 4 +3к -4=0 b= 0
4.33	Условие		Варианты
	Общее уравнение прямой, проходящей через точки А(-2;3) В(3;-3) имеет вид		А) 6х+5у-27=0 В) -5х+6у=0 С) -5х-у-7=4 D) 6х+5у-3=0
	Решение уравнение прямой, проходящей через две точки 6х+12= - 5у+15 6х+5у-3=0
4.34	Условие	Варианты
	Установитьсоответствие между уравнениями прямых и их типами 1) у= - 3х+7 2) х= - 2 3)	А) уравнение параллельно оси абсцисс В) уравнение прямой с угловым коэффициентом С) уравнение прямой в отрезках D) общее уравнение прямой Е) уравнение прямой параллельно оси ОУ
	Решение у= - 3х+7 уравнение с угловым коэффициентом х= - 2 уравнение параллельно оси ОУ - уравнение прямой в отрезках