6.5. Розподіл прискорень при обертанні тіла з нерухомою точкою

Прискорення точки тіла, що обертається навколо нерухомої точки, можна знайти, диференціювавши вираз (6.11) за часом:

,

(6.20)

де перший доданок праворуч ( ) називається обертальним прискоренням, а другий, - доосьовим.

Напрямок цих складових прискорення визначається їх виразами у вигляді наведених вище векторних добутків. Так, обертальне прискорення завжди напрямлене перпендикулярно до площини векторів і , а доосьове – до миттєвої осі обертання.

6.6. Регулярна прецесія

Регулярною прецесією називається такий рух твердого тіла навколо нерухомої точки, за якого кут нутації залишається сталим під час руху, тобто , , , і тоді за формулою (6.4) матимемо

.

(6.21)

Тоді, вважаючи переносною кутовою швидкістю, а - відносною, і позначаючи відповідно , , отримаємо вираз для абсолютної кутової швидкості :

.

(6.22)

Знайдемо тепер кутове прискорення у разі регулярної прецесії. За означенням , але з іншого боку є швидкістю кінця вектора і напрямлене по дотичній до її годографа. Крім цього, тут можна знову скористатися формулою Бура (диференціювання вектора відбувається у рухомій системі координат, яка обертається із переносною кутовою швидкістю ). Таким чином, маємо (див. рис. 6.4)

	, (6.23) або, враховуючи (6.22), - , (6.24) оскільки . Отже, остаточно маємо . (6.25)
Рис. 6.4. До визначення кутового прискорення.

7. Загальний випадок руху твердого тіла (вільний рух)

Цей рух можна вважати складеним із поступального руху твердого тіла разом із центром мас, та обертального руху навколо центра мас, тобто цей рух є синтезом поступального і сферичного рухів. Доведемо це твердження.

7.1. Швидкості точок тіла

Знайдемо спочатку розподіл швидкостей у вільному твердому тілі. Згідно із законом про розподіл швидкостей та прискорень зробимо висновок про характер руху тіла.

Введемо у розгляд дві системи координат (див. рис. 5.1), одна з яких є нерухомою ( ), а друга – жорстко зв'язана з тілом ( ).

	Виберемо у тілі довільну т. і знайдемо її швидкість. Положення т. в цих двох системах координат визначимо векторним способом. Нехай вектор визначає положення т. в рухомій с. к. ( ). Положення т. в нерухомій с. к. буде визначатися вектором . З рисунку випливає, що . Розкладемо вектор за ортами рухомої с. к.:
Рис. 7.1. Системи координат.	, (7.1)

тоді

,

(7.2)

і, диференціюючи цей вираз за часом, отримаємо

(7.3)

( ).

Знайдемо похідні від одиничних векторів. Для цього розглянемо дві системи рівнянь:

;	(7.4)
.	(7.5)

Диференціюємо першу рівність системи (7.4) за часом:

.

(7.6)

Тут - швидкість точки кінця вектора (точки, що окреслює годограф орта ). На підставі рівності (7.6) вектор . Але оскільки , тобто , то, очевидно, вектор здійснює обертальний рух і тоді

(7.7)

згідно з формулою Ейлера. Тут - невідома кутова швидкість орта .

Для двох інших рівностей системи (7.4) отримуємо

(7.8)

Щоб знайти , розглянемо рівності (7.5). Диференціюючи першу з них, отримаємо

.

(7.9)

Підставляючи у вираз (7.9) рівності (7.7) і (7.8), будемо мати

,

звідки легко знайти (використовуючи правило циклічної перестановки у змішаному добутку: і комутативність скалярного добутку), що

.

(7.10)

Рівність (7.10) є вірною тільки якщо , оскільки окрім того, що вірно й те, що вектори і в загальному випадку не є ортогональними.

Якщо досліджувати аналогічним чином інші рівності (7.5), то неважко встановити, що

,

тоді похідні від ортів можна переписати так:

.

(7.11)

Підставимо формули (7.11) в (7.3):

.

Отже, отримали

, -

(7.12)

закон розподілу швидкостей у вільному твердому тілі.

Фізичний зміст вектора поки що невизначений, але можна відмітити, що за умови : , тобто тіло здійснює поступальний рух, а при (що відповідає «закріпленню» тіла у точці ) формула (7.12) переходить у формулу Ейлера (однак при цьому ми не можемо стверджувати, що вісь обертання є нерухомою).

Із формули (7.12) дістаємо висновок: рух вільного твердого тіла можна уявити як складений з двох рухів: поступального разом із полюсом і обертального навколо деякої осі, що проходить через полюс . Ця вісь називається миттєвою віссю обертання, вона змінює у просторі своє положення і напрямок, а є миттєвою кутовою швидкістю. Відмітимо також, що вектори і не лежать в одній площині.