---------- Модуль НФ-07/1 «Кінематика і початок кінетики» ----------

Лекція 7

6. Рух тіла з нерухомою точкою (сферичний рух)

Обертальним рухом твердого тіла навколо нерухомої точки називається такий його рух, при якому одна точка твердого тіла залишається нерухомою. Він також називається сферичним, оскільки траєкторії всіх точок тіла розташовуються на поверхнях концентричних сфер з центром в нерухомій точці.

Прикладами таких тіл можуть бути як звичайна дзиґа, показана на рис. 6.1а (в ній нерухомою точкою є точка контакту дзиґи з підлогою), так і різноманітні гіроскопічні прилади, в яких нерухома точка реалізується за допомогою підвісів найрізноманітніших конструкцій (кардановий, електростатичний, електромагнітний, електродинамічний, пневматичний підвіси, тощо). Деякі з цих конструкцій показані на рис. 6.1б.

а)	б)
Рис. 6.1. Приклади реалізації нерухомої точки.

6.1. Кути Ейлера

Нехай тіло , з яким жорстко зв’язана с. к. , здійснює (сферичний) рух у нерухомій с. к. , причому початки обох систем збігаються із нерухомою точкою .

	Положення т. в нерухомій системі координат визначає радіус-вектор , а в рухомій ( ) – вектор (див. рис. 6.2) . (6.1) Перетворення координат точки від рухомої системи координат до нерухомої може бути подано таким чином: (6.2) або у матричній формі - . (6.3)
Рис. 6.2. Системи координат при сферичному русі твердого тіла.

Рівняння (6.2) або (6.3) є кінематичними рівняннями руху тіла з однією нерухомою точкою.

В них коефіцієнти є функціями трьох незалежних величин – кутів Ейлера: прецесії ( ), нутації ( ), та власного обертання ( ).

За допомогою рівнянь (6.2) або (6.3) можна визначити положення точки тіла в нерухомій системі координат .

Теорема 1 (Ейлера): довільне переміщення твердого тіла з нерухомою точкою можна здійснити за допомогою трьох послідовних поворотів навколо вибраних визначеним чином осей.

Нехай у початковий момент часу осі нерухомої і рухомої с. к. із загальним початком у нерухомій точці збігаються ( з , з , з ).

Здійснимо три послідовних повороти тіла, осі, кути і відповідні кутові швидкості яких вказані у табл. 6.1 і показані на рис. 6.3.

	Таблиця 6.1. Кути Ейлера Поворот Вісь Кут Кутова швидкість 1 (прецесії) 2 1 (нутації) 3 (власного обертання) Оскільки кожному моменту часу відповідає означене положення тіла і означені кути Ейлера, тому залежності
Рис. 6.3. Повороти і кути Ейлера.

можуть бути прийняті в якості кінематичних рівнянь руху тіла, що обертається навколо нерухомої точки. Одночасно вони визначають закон руху твердого тіла з нерухомою точкою.

Знайдемо миттєву кутову швидкість обертання твердого тіла з нерухомою точкою (див. п. 4.2):

.

(6.4)

Оскільки з рис. 6.3 випливає, що і , то складаючи спочатку за правилом паралелограма і (кут між ними ), отримаємо: , а використавши теорему косинусів, знайдемо модуль цього вектора

.

Врахувавши потім, що , знайдемо шукану миттєву кутову швидкість

.