ПЗ № 1. Анализ и принятие логистических решений в условиях определенности

Это самый простой случай. Известно количество возможных си­туаций (вариантов) и их исходы. Вероятность каждого события равна единице. Нужно выбрать один из возможных вариантов. Степень сложности процедуры выбора в данном случае опреде­ляется лишь количеством альтернативных вариантов.

Математические модели исследуемых явлений или процессов могут быть заданы в виде таблиц, элементами которых выступают значения частных критериев эффективности функционирования логистической системы, вычисленные для каждой из сравнивае­мых стратегий при строго заданных внешних условиях. Для рассматриваемых условий принятие решений может произво­диться:

• по одному критерию;

• по нескольким критериям.

Пример 1.1. Одной из фирм требуется выбрать оптималь­ную стратегию по обеспечению нового производства оборудова­нием. С помощью экспериментальных наблюдений были опре­делены значения частных критериев функционирования соот­ветствующего оборудования a_ij изготавливаемого тремя завода­ми-изготовителями. Исходные данные представлены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Данные для выбора оптимальной стратегии

Варианты оборудования (стратегии, решения)	Частные критерии эффективности оборудования*
	произво­дитель­ность, у. д. е.	стоимость оборудо­вания, у. д. е.	энергоем­кость, у. е.	надеж­ность, у. е.
Оборудование завода № 1, х1	a11 = 5	a12 = 7	a13 = 5	a14 = 6
Оборудование завода № 2, х2	a21 = 3	a22 = 4	a23 = 7	a24 = 3
Оборудование завода № 3, х3	a31 =4	a32 = 6	a33 = 2	a34 = 4
*Значения частных критериев даны в условных единицах.

На основе экспертных оценок был также определен вес част­ных критериев λ_j, j = 1, 2, 3, 4:

λ₁ = 0,4; λ₂ = 0,2; λ₃ = 0,1; λ₄ = 0,3.

Выбор оптимальной стратегии (варианта оборудования) по одному критерию в данной задаче не вызывает затруднений. Например, если оценивать оборудование по надежности, то луч­шим будет признано оборудование завода № 1 (стратегия х₁ ).

Выбор оптимального решения по комплексу нескольких критериев (в нашем примере по четырем критериям) — задача многокритериальная.

Один из подходов к решению многокритериальных задач управления связан с процедурой образования обобщенной функ­ции F_i (a_i1; а_i2; а_i3; ... a_in), монотонно зависящей от критериев a_ij. Данная процедура называется процедурой (мето­дом) свертывания критериев. Существует несколько методов свертывания, например:

- метод аддитивной оптимизации;

- метод многоцелевой оптимизации и др.

Рассмотрим подробнее метод аддитивной оптимизации.

Допустим

n

F_i(a_ij) = ∑ λ_ja_ij. (1.1)

j=1

Здесь выражение (1.1) определяет аддитивный критерий оптимальности. Величины λ_j являются весовыми коэффициента­ми, которые определяют в количественной форме степень пред­почтения j-го критерия по сравнению с другими критериями. Другими словами, коэффициенты λ_j определяют важность j-го критерия оптимальности. При этом более важному критерию приписывается больший вес, а общая важность всех критериев равна единице, т. е.:

n

∑ λ_j = 1, λ_j ≥ 0. (1.2)

j=1

Обобщенная функция цели (1.1) может быть использована для свертывания частных критериев оптимальности, если:

1. частные (локальные) критерии количественно соизмеримы по важности, т. е. каждому из них можно поставить в соответ­ствие некоторое число λ_j которое численно характеризует его важность по отношению к другим критериям;

2. частные критерии однородны (имеют одинаковую размер­ность. В нашем примере критерии стоимость оборудования и производительность оборудования в условных денежных едини­цах будут однородными).

В этом случае для решения задачи многокритериальной опти­мизации оказывается справедливым применение аддитивного критерия оптимальности.

Допустим, в примере 1.1 необходимо выбрать оптимальный вариант оборудования по двум однородным локальным крите­риям:

- производительность, y. д. е.;

- стоимость оборудования, у. д. е.

На основе экспертных оценок были определены весовые ко­эффициенты этих двух частных критериев λ₁ = 0,667, λ₂ = 0,333. Вычислим аддитивный критерий оптимальности для трех вари­антов:

F₁(a_1j) = λ₁٠ a₁₁ + λ₂ ٠ a₁₂ = 0,667 ٠ 5 + 0,333 ٠ 7 = 5,666;

F₂(a_2j) = λ₁٠ a₂₁ + λ₂ ٠ a₂₂ = 0,667 ٠ 3 + 0,333 ٠ 4 = 3,333;

F₃(a_3j) = λ₁٠ a₃₁ + λ₂ ٠ a₃₂ = 0,667 ٠ 4 + 0,333 ٠ 6 = 4,666.

Очевидно первый вариант оборудования по двум частным стоимостным критериям будет оптимальным, так как F_max = F₁(a_1j) = 5,666.

В примере 1.1 четыре локальных критерия не однородны, т. е. имеют различные единицы измерения. В этом случае требуется нормализация критериев. Под нормализацией критериев пони­мается такая последовательность процедур, с помощью которой все критерии приводятся к единому, безразмерному масштабу из­мерения. К настоящему времени разработано большое количест­во схем нормализации. Рассмотрим некоторые из них.

Определим максимум и минимум каждого локального крите­рия, т. е.:

a_max = max a_ij, i = 1,...m; (1.3)

a_min = min a_ij, i = 1,...m. (1.4)

Выделим группу критериев a_j, j = 1,...l , которые максимизиру­ются при решении задачи, и группу критериев a _j, j =l+1,...n, кото­рые минимизируются при решении задачи.

Тогда в соответствии с принципом максимальной эффектив­ности нормализованные критерии определяются из соотноше­ний:

a_ij = a_ij / a_max, j = 1,...l; (1.5)

a_ij = 1 - a_ij / a_max, j =l+1,...n; (1.6)

a_ij=(a_ij - a_min) / (a_max - a_min), j = 1,...l; (1.7)

a_ij=( a_max - a_ij) / (a_max - a_min), j =l+1,...n. (1.8)

Оптимальным будет тот вариант (стратегия), который обеспе­чивает максимальное значение функции цели:

n

F_i(a_ij) = ∑ λ_j a_ij, i = 1,...m. (1.9)

j=1

В соответствии с принципом минимальной потери нормали­зованные критерии определяются из соотношений:

a_ij = 1 - a_ij / a_max, j = 1,...l; (1.10)

a_ij = a_ij / a_max, j =l+1,...n; (1.11)

a _ij=( a_max - a_ij) / (a_max - a_min), j = 1,...l; (1.12)

a_ij=(a_ij - a_min) / (a_max - a_min), j =l+1,...n; (1.13)

При этом оптимальным будет тот вариант (стратегия), кото­рый обеспечивает минимальное значение функции цели (1.9).

Пример 1.2. Используя данные примера 1.1, определить оптимальную стратегию выбора оборудования из трех возмож­ных (т = 3) с учетом четырех локальных критериев (n = 4).

Решение.

1. Определим max и min каждого локального кри­терия:

a_max1 = 5; a_max2 = 7; a_max3 =7; a_max4 = 6.

2. При решении задачи максимизируются первый (произво­дительность) и четвертый (надежность) критерии, а минимизи­руются второй (стоимость оборудования) и третий (энергоем­кость) критерии.

3. Исходя из принципа максимизации эффективности норма­лизуем критерии:

a _i1 = a_i1 / a_max1;

a₁₁ = a₁₁ / a_max1 = 1;

a₂₁ = a₂₁ / a_max1 = 0,6;

a₃₁ = a₃₁ / a_max1 = 0,8;

a _i4 = a_i4 / a_max4;

a ₁₄ = a₁₄ / a_max4 = 1;

a ₂₄ = a₂₄ / a_max4 = 0,5;

a ₃₄ = a₃₄ / a_max4 = 2/3;

a _i2 = 1 - a_i2 / a_max2;

a ₁₂ = 1 – a₁₂ / a_max2 = 1 – 7/7 = 0;

a ₂₂ = 1 – a₂₂ / a_max2 = 3/7;

a ₃₂ = 1 – a₃₂ / a_max2 = 1/7;

a _i3 = 1 - a_i3 / a_max3;

a ₁₃ = 1 – a₁₃ / a_max3 = 2/7;

a ₂₃ = 1 – a₂₃ / a_max3 = 0;

a ₃₃ = 1 – a₃₃ / a_max3 = 5/7.

4. Определим обобщенную функцию цели по каждому варианту:

F ₁ = λ₁٠ a₁₁ + λ₂ ٠ a₁₂ + λ₃ ٠ a₁₃ + λ₄ ٠ a₁₄ = 0,4 ٠ 1 + 0,2 ٠ 0 + 0,1 ٠ 2/7 + 0,3٠1 = 0,729;

F ₂ = λ₁٠ a₂₁ + λ₂ ٠ a₂₂ + λ₃ ٠ a₂₃ + λ₄ ٠ a₂₄ = 0,4 ٠ 0,6 + 0,2 ٠3/7 + 0,1 ٠ 0 + 0,3٠0,5 = 0,476;

F₃ = λ₁٠ a₃₁ + λ₂ ٠ a₃₂ + λ₃ ٠ a₃₃ + λ₄ ٠ a₃₄ = 0,4 ٠ 0,8 + 0,2 ٠1/7 + 0,1 ٠ 5/7 + 0,3 ٠ 2/3 = 0,603.

Оптимальным является первый вариант оборудования, так как F_max = F₁ = 0,729.

ПЗ № 2. Эффективность инвестиционного проекта развития логистической системы

Одним из ключевых моментов при принятии инвестиционных решений по финансированию развития логистической системы является оценка эффективности предполагаемых капиталовло­жений. В основе такой оценки лежат расчет и сравнение объема предполагаемых инвестиций и будущих доходов (денежных поступлений), а также сравнение эффективности инвестиций в различные логистические проекты. При этом в качестве альтер­нативы вложений средств в создание логистической системы выступают финансовые вложения в другие производственные объекты, помещение финансовых средств в банк под проценты или обращение их в ценные бумаги.

Совокупность методов, применяемых для оценки эффектив­ности инвестиций, можно разбить на две группы: динамические (учитывающие фактор времени) и статические (учетные). Классификация широко применяемых на практике методов, сог­ласно выделенному признаку, приведена на рис. 2.1.