Обычно пользуются соотношением, написанным в виде

P(₁ⁿS <  < ₂ⁿS) = . (41)

При выбранном значении a соответствующие значения ₁ и ₂ находятся из табл. IV.

Приведем два примера пользования табл. IV.

1. Средняя квадратическая погрешность, определенная из 5 измерений, равна 2. Нужно вычислить доверительный интервал для  с надежностью 0.95. Из табл. IV для n = 5 и  = 0.95 имеем ₁ = 0.6 и ₂ = 2.9.

Для  можем написать выполняемое с вероятностью 0.95 неравенство:

0.62 < < 2.92 или 1.2 <  < 5.7.

Мы видим, что границы, в которых лежит , очень широки и асимметричны (интервал от 2 до 1.2 почти в пять раз меньше ин­тервала от 2 до 5.7).

2. При 40 измерениях ₁ = 0.8, ₂ = 1.3 и получаем для  неравенство

1.6 <  < 2.6.

Интервал этот значительно более узкий и почти симметричный.

Если пользоваться при n = 40 формулой (38), то

^S_ = /[2(n – 1]^1/2 = 2/78^1/2  2.

Доверительной вероятности 0.95 соответствует погрешность _, и для  можно с вероятностью 0.95 написать: 1.55 <  < 2.45.

Как видим, в этом случае оценки, сделанные по строгим и при­ближенным формулам, практически не различаются между собой. Легко показать, что при 5 или 10 измерениях это различие бу­дет весьма значительным.

Положим, что есть два ряда измерений одной и той же величи­ны: один ряд содержит n_1, другой – n₂ измерений. Для этих рядов получены дисперсии ⁿ¹S₁² и ⁿ²S₂².

Обозначения выберем так, чтобы S₁² было больше S₂². Определим величину  следую­щим образом:

 = [(n₂ – 3)/(n₂ – 1)][ⁿ¹S₁²/ⁿ²S₂²] . (42)

Можно показать, что

_ = [2(n₁ + n₂ – 4)/(n₁ – 1)(n₂ – 5)]^1/2. (43)

Положим

R = | – 1|/_.

Это число характеризует, существенно или несущественно различают­ся между собой выборочные дисперсии S₁² и S₂². Если R > 3, то расхождение между S₁ и S₂ существенно. Если R < 3, то – несущественно. Такой критерий, предложенный В.И. Романовским [15] и носящий его имя, соответствует уровню значимости 0.01. Другой критерий – критерий Фишера (см., например, [l8] позволя­ет с помощью специальных таблиц сличать дисперсии при разных уровнях значимости. В практической работе можно рекомендовать более простой критерий Романовского. В качестве примера приве­дем сопоставление результатов определения содержания углерода в ряде проб одного и того же соединения [11].

Было выполнено две серии измерений разными лаборантами: в одной серии сделано 20 определений, в другой – 13. Результаты сведены в табл.5.

Таблица 5. Сравнение результатов анализа

Номер измерения	Содержание C, %		Номер измерения	Содержание C, %
	Серия 1	Серия 2		Серия 1	Серия 2
1	4.40	4.42	11	4.66	4.57
2	4.66	4.47	12	4.53	4.58
3	4.42	4.70	13	4.90	4.66
4	4.59	4.72	14	4.50
5	4.55	4.53	15	4.66
6	4.45	4.55	16	4.80
7	4.55	4.60	17	4.36
8	4.39	4.64	18	4.75
9	4.75	4.29	19	4.28
10	4.72	4.52	20	4.45

Отсюда S₁² /S₂² = 2.12, п₁ = 20, n₂ = 13,  = 1.77, _ = 0.62, R = 1.24 < 3.

Следовательно, разницу в точности анализов двух лаборантов нельзя считать значимой.

9. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Пусть для двух рядов измерений одной и той же величины полу­чены значения <x>₁ и <x>₂. По прежнему полагаем, что <x>₁ определе­но из n₁ а <x>₂ из n₂ измерений. В каком случае можно счи­тать расхождение между <x>₁ и <x>₂ значимым, в каких – случайным?

Иначе говоря, следует установить, насколько значимо |<x>₁ – <x>₂| отлично от нуля.

Дисперсии S₁² и S₂² величин x_1i и x_2k равны соответственно

ⁿ¹S² = _i^п1(<x>₁ – x_1i)²/(n₁ - 1) и ⁿ²S² = _i^п2(<x>₂ – x_2k)²/(n₂ – 1) (44)

Дисперсия S ² разности (<x>₁ – <x>₂) будет

S² = [(n₁ – 1)S₁² + (n₂ – 1)S₂²]/[(n₁ – 1) + (n₂ – 1)].

Можно показать, что величина

t = [(<x>₁ – <x>₂)/S][n₁n₂/(n₁ + n₂)]^1/2 (45)

– это тот же коэффициент Стьюдента, который используется для определе­ния доверительного интервала при небольшом числе изме­рений.

Определим, значимо ли расхождение результатов двух серий анализов, приведенных в табл.5.

Из нее следует

<x>₁ = 4.5655, <x>₂ = 4.5577, <x>₁ – <x>₂ = 0.008.

²⁰S² = 0.003, ¹³S² = 0.014, S² = (0.00319 + 0.01413)/31 = 0.008.