Контрольні питання

1. Що таке фактор-алгебра алгебри за конгруенцією?

2. Що таке натуральний гомоморфізм?

Напівгрупи

Означення 11. Алгебра G=(A,W) називається напівгрупою, якщо W складається з однієї бінарної асоціативної операції. Бінарну операцію напівгрупи часто позначають символом  й називають множенням. Бінарна операція  на множині А називається асоціативною, якщо для будь-яких x,y,z з множини А виконується умова x(yz)=(xy)z.

Розглянемо приклади напівгруп. Алгебра (N,+) має сигнатуру, що складається з однієї бінарної операції (+); для будь-яких невід’ємних цілих чисел x,y,z виконуєтьс, як відомо, умова x+(y+z)=(x+y)+z, тобто операція + асоціативна. Таким чином, алгебра (N,+) є напівгрупою. Напівгрупами є також алгебри (N,), (Z,+), (Z,), (R,+), (R,).

Алгебра (Z,-) не є напівгрупою, оскільки операція віднімання чисел (-) не асоціативна. Дійсно, x-(y-z)=x-y+z, (x-y)-z=x-y-z; оскільки не для усіх цілих x, y, z x-y+z=x-y-z, то умова асоціативності операції віднімання (тобто умова x-(y-z)=(x-y)-z) не виконується.

Розглянемо поняття напівгрупи слів у скінченному алфавіті.

Означення 12. Алфавітом називається множина символів. Скінченним алфавітом називається скінченна множина символів.

Означення 13. Словом у алфавіті Х називається скінченна послідовність символів алфавіту Х, записана без проміжків та розділових знаків між цими символами. Порожнім словом будемо називати послідовність, що не містить символів. Порожнє слово позначається . Позначимо F(X)={p| p – слово у алфавіті X або }. Кількість входжень символів у слово р називається довжиною слова р; порожнє слово має довжину 0.

Наприклад, словами у алфавіті X={a,b,c} є послідовності аассс, са, b, сbb. Довжина слова аассс дорівнює п’яти (адже у це слово входять п’ять символів: двічі символ “a” та тричі символ “c”), довжина слова са дорівнює 2, слова b – 1, слова cbb – 3. Послідовність асе не є словом у даному алфавіті Х, бо вона містить символ “е”, що не належить алфавіту Х.

Визначимо на множині F(X) бінарну операцію злиття (конкатенації) слів (позначимо її conc). Нехай p,qF(X), p=x₁…x_n, q=y₁…y_m, n,mN (вважаємо, що коли n (m) дорівнює нулю, то p (q) – порожнє слово). Покладемо conc(p,q)=x₁…x_ny₁…y_m. Зрозуміло, що при р= conc(p,q)=q, при q= conc(p,q)=р, а при р=q= conc(p,q)=.

Покажемо, що операція conc асоціативна. Нехай p,q,rF(X) й p=x₁,…,x_n, q=y₁,…,y_m, r=z₁,…,z_k, n,m,kN⁺. Перевіримо, чи виконується умова асоціативності для операції conc: conc(p,conc(q,r))=conc(conc(p,q),r). Маємо:

conc(p,conc(q,r))=conc(x₁,…,x_n,conc(y₁,…,y_m,z₁,…,z_k))=conc(x₁,…,x_n,y₁,…,y_mz₁,…,z_k)= =x₁,…,x_ny₁,…,y_mz₁,…,z_k;

conc(conc(p,q),r)=conc(conc(x₁,…,x_n,y₁,…,y_m),z₁,…,z_k)=conc(x₁,…,x_ny₁,…,y_m,z₁,…,z_k)= =x₁,…,x_ny₁,…,y_mz₁,…,z_k;

отже, conc(p,conc(q,r))=conc(conc(p,q),r), тобто операція conc асоціативна. Зрозуміло, що коли принаймні одне зі слів p, q, r порожнє, умова conc(p,conc(q,r))=conc(conc(p,q),r) виконується.

Напівгрупою слів у алфавіті Х назвемо алгебру (F(X), conc).

Означення 14. Напівгрупа (А,) називається комутативною, якщо операція  комутативна, тобто для будь-яких х та у з множини А виконується ху=ух.

Наприклад, напівгрупи (N,+), (N,), (Z,+), (Z,), (R,+), (R,) комутативні, адже операції додавання та множення чисел, як відомо, комутативні. Напівгрупа слів у алфавіті Х (тобто алгебра (F(X), conc)) не є комутативною, адже слова conc(p,q) та conc(q,p) не завжди однакові; нехай, наприклад, Х={a,b,c}, p=ab, q=cb, тоді conc(p,q)=abcb, а conc(q,p)=cbab; бачимо, що conc(p,q)conc(q,p).

Означення 15. Алгебра (А,) називається напівгрупою з одиницею, або моноїдом, якщо (А,) – напівгрупа й існує такий елемент е множини А, що для будь-якого х з А хе=ех=х. Елемент е називається одиничним (нейтральним, одиницею). Алгебра (А,) називається комутативною напівгрупою з одиницею (комутативним моноїдом), якщо вона є напівгрупою з одиницею й операція  комутативна.

Наприклад, алгебра (N,+) є моноїдом, адже вона є напівгрупою, й у множині N існує таке число (позначимо його е), що для будь-якого х з N виконується умова х+е=е+х=х. Дійсно, рівності х+е=е+х=х мають розв’язок відносно е: е=0. Таким чином, напівгрупа (N,+) має одиничний елемент: це число 0. Отже, алгебра (N,+) є напівгрупою з одиницею, або моноїдом. Алгебри (Z,+), (R,+), (R,), (N,), (Z,) також є моноїдами. Одиничним елементом моноїдів (Z,+), (R,+) є число 0. Одиничним елементом моноїдів (R,), (N,), (Z,) є число 1. Оскільки операції додавання та множення чисел комутативні, то алгебри (N,+), (Z,+), (R,+), (R,), (N,), (Z,) є комутативними моноїдами.

Напівгрупа слів у алфавіті Х є моноїдом; одиничним елементом є порожнє слово, адже для будь-якого слова р з множини F(X) маємо: conc(p,)=p=conc(,p).

Твердження 2. Нехай G=(A,) – напівгрупа з одиницею, е – одиничний елемент. Тоді е єдиний.

Доведення (від супротивного). Припустимо, що у множині А існує принаймні ще один елемент (позначимо його е), що відмінний від е, й такий, що для будь-якого х із А виконується умова: хе=ех=х. Оскільки еА, то й для е дана умова також виконується, тобто ее=ее=е. Оскільки е – одиничний елемент напівгрупи G, то для будь-якого х з А маємо: хе=ех=х. Дана умова виконується й для х=е, адже еА, а тому ее=ее=е. Таким чином, е=е, що суперечить припущенню про те, що елемент е відмінний від е. Отже, одиничний елемент напівгрупи з одиницею єдиний.