Гомоморфізми та ізоморфізми алгебр

Означення 6. Алгебри G₁=(A,W₁) G₂=(B,W₂) називаються алгебрами одного типу, якщо існує взаємно однозначне відображення f: W₁W₂, таке що, коли wⁿ – n-арна операція з W₁, то f(wⁿ) – n-арна операція з W₂.

Наприклад, алгебри G₁=(N,{+,!}) та G₂=(Z,{-,f¹}), де f¹(x)=2x+3, є алгебрами одного типу. Дійсно, побудуємо таке взаємно однозначне відображення F множини {+,!} у множину {-,f¹}: F(+)=-, F(!)=f¹. Бачимо, що + та F(+) – бінарні операції, ! та F(!) – унарні операції.

Прийнято позначати сигнатури алгебр одного типу однаковими іменами.

Означення 7. Нехай G₁=(A,W) G₂=(B,W) – алгебри одного типу, h:AB. Відображення h називається гомоморфізмом алгебр G₁ та G₂ (гомоморфним відображенням алгебри G₁ у алгебру G₂), якщо для будь-якої операції fⁿ із сигнатури алгебри G₁ та для будь-яких елементів а₁,…а_n носія алгебри G₁ виконується умова h(fⁿ(а₁,…а_n))=fⁿ(h(а₁),…,h(а_n)).

Тут символ fⁿ у правій частині рівності означає операцію із сигнатури алгебри G₂, що зв’язана бієкцією, яка відображує множину операцій алгебри G₁ у множину операцій алгебри G₂, з одноіменною операцією з лівої частини рівності (зауважимо, що алгебри G₁ та G₂ одного типу).

Якщо існує гомоморфізм алгебр G₁ та G₂, то такі алгебри називаються гомоморфними.

Якщо гомоморфне відображення h алгебри G₁ у алгебру G₂ є взаємно однозначним, то h називається ізоморфізмом алгебр G₁ та G₂ (ізоморфним відображенням алгебри G₁ у алгебру G₂).

Якщо існує ізоморфізм алгебр G₁ та G₂, то такі алгебри називаються ізоморфними.

Означення 8. Нехай G=(A,W) та H=(B,W) – алгебри, h – гомоморфне відображення алгебри G у алгебру Н й h є сюр’єкцією. Тоді h називається гомоморфним відображенням алгебри G на алгебру Н.

Нехай, наприклад, G₁=(Z,+), G₂=({-1,1},). Зазначимо, що G₁ та G₂ є алгебрами одного типу. Визначимо відображення h множини Z у множину {-1,1} таким чином: h(n)=1, якщо n парне, h(n)=-1, якщо n непарне. Перевіримо, чи є h гомоморфним відображенням алгебри G₁ у алгебру G₂. Для цього треба перевірити, чи виконується для будь-яких цілих чисел n та m рівність h(+(n,m))=(h(n),h(m)) (або у більш звичному вигляді h(n+m)=h(n)h(m)). Щоб знайти h(n), h(m), h(n+m), треба знати, якими є числа n та m (парними чи непарними). Число n може бути або парним, або непарним; також й число m може бути або парним, або непарним. Отже, можливі такі випадки:

1) n та m парні,

2) n та m непарні,

3) n парне, m непарне,

4) m парне, n непарне.

Перевіримо рівність h(n+m)=h(n)h(m) у кожному з цих випадків, обчисливши її праву та ліву частини. У випадку 1 маємо: h(n)=h(m)=1 й h(n)h(m)=1; оскільки n та m парні, то n+m також парне, а тому h(n+m)=1; отже рівність виконується. У випадку 2 маємо: h(n)=h(m)=-1 й h(n)h(m)=1; оскільки n та m непарні, то n+m парне, а тому h(n+m)=-1; отже рівність виконується. У випадку 3 маємо: h(n)=1, h(m)=-1 й h(n)´h(m)=-1; оскільки n парне, а m непарне, то n+m непарне, а тому h(n+m)=-1; отже рівність виконується. У випадку 4 маємо: h(n)==1, h(m)=1 й h(n)´h(m)=-1; оскільки n непарне, а m парне, то n+m непарне, а тому h(n+m)=-1; отже рівність виконується.Таким чином, доведено, що задане відображення h є гомоморфним відображенням алгебри G₁ у алгебру G₂. Відображення h сюр’єктивне, тому воно є гомоморфним відображенням алгебри G₁ на алгебру G₂. Відображення h не є взаємно однозначним, тому воно не являється ізоморфізмом алгебр G₁ та G₂.

Розглянемо приклад ізоморфізму алгебр. Нехай G₁=(R⁺, ,^-1,1), G₂=(R, +,-¹,0), де R⁺ – множина усіх додатних дійсних чисел, ^-1 – унарна операція на множині R⁺, така що хR⁺  х^-1=1/x, -¹ – унарна операція на множині R, така що хR  х+(-х)=0, 1 – 0-арна операція на множині R⁺ (її результатом є число 1), 0 – 0-арна операція на множині R (її результатом є число 0). Алгебри G₁ та G₂ є алгебрами одного типу, адже існує бієкція (позначимо її f) сигнатури алгебри G₁ у сигнатуру алгебри G₂, а саме: f()=+, f(^-1)= -¹, f(1)=0, й при цьому  та f() – бінарні операції, ^-1 та f(^-1) – унарні операції, 1 та f(1) – 0-арні операції. Розглянемо відображення lg: R⁺R. Воно, як відомо, є взаємно однозначним. Покажемо, що lg – гомоморфне відображення алгебри G₁ у алгебру G₂. Для цього для кожної пари операцій, зв’язаних відображенням f, складемо рівність виду lg(fⁿ(а₁,…а_n))=fⁿ(lg(а₁),…, lg(а_n)) й перевіримо, чи виконується вона. Отже, для пари бінарних операцій  та + маємо: lg(а₁а₂)=lg(а₁)+lg(а₂); ця рівність виконується (як відомо, логарифм добутку двох додатних дійсних чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел). Для пари унарних операцій ^-1 та -¹ маємо: lg(х^-1)=-lg(х); перевіримо: lg(х^-1)=lg(1/x)=lg(1)-lg(x)=0-lg(x)=-lg(x); отже, рівність виконується. Для пари 0-арних операцій 1 та 0 маємо: lg(1)=0; перевіримо: lg(1)=lg(1)=0; отже, рівність виконується. Таким чином, lg – взаємно однозначне гомоморфне відображення алгебри G₁ у алгебру G₂, отже, lg – ізоморфізм алгебр G₁ та G₂.