Тема 10. Экстремальные задачи.

а) Наибольшее и наименьшее значения функции одной переменной. №1. Найти наименьшее и наибольшее значения функций: а) у = х ⁴ – 2х ² + 3 на отрезке [- 3; 2]; б) у = х ² – 2х + х – 4 на отрезке [0; 4]. №2. Если собрать урожай в начале августа, то с каждой сотки можно получить 200 кг раннего картофеля и реализовать его по 12 руб. за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведёт к увеличению урожайности на 50 кг с одной сотки, но цена картофеля за килограмм при этом падает на 2 руб. Когда следует собрать картофель, чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки составляет 5 недель? №3. Издержки производства некоторого товара равны С = 4 + 15q, спрос на товар определяется функцией р = - q ² + 20q + 2; 10 < q < 20. Найти объём продукции q, макси- мизирующий прибыль. б) Экстремумы функций многих переменных. №4. Найти экстремумы функций:

а) z = х ² – ху + у ² + 9х – 6у + 20; б) z = (2х ² + у ²) .

в) Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных. №5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = 3х ² – х ³ + 3у ² + 4у в области х ² + у ² ≤ 1.

г) Условный экстремум. №6. Найти условные экстремумы функции z = х ² + у ² – ху + х + у – 4 при х + у + 3 = 0. №7. Предприниматель решил выделить на расширение своего дела 150 тыс. руб. Из- вестно, что если на приобретение нового оборудования затратить х тыс. руб., а на зарплату вновь принятых работников у тыс. руб., то прирост объёма продукции соста-вит Q = 0,001х ^0,6у ^0,4. Как следует распределить выделенные денежные ресурсы, чтобы прирост объёма продукции был максимальным?

Тема 11. Неопределённый интеграл.

а) Непосредственное интегрирование. №1. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) .

б) Метод замены переменной. №2. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . в) Интегрирование по частям. №3. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) arctg x dx; д) ; е) ; ё) dx. г) Интегрирование рациональных дробей. №4. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

д) Интегрирование тригонометрических выражений. №5. Найти интегралы: а) sin ³x dx; б) sin ²x dx; в) ; г) .

е) Интегрирование иррациональных выражений. №6. Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) .

Тема 12. Определённый интеграл. №1. Вычислить интегралы: а) dx; б) ; в) dx.

Тема 13. Несобственные интегралы.

№1. Вычислить интегралы или установить их расходимость: а) ; б) ; в) ; г) ln x dx.

Тема 14. Геометрические приложения определённого интеграла.

а) Площади фигур. №1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: а) у = х ², у = 2 – х ²; б) + = 1.

б) Объёмы тел вращения.

№2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограни- ченной линиями у ² = 9х, у = 3х. №3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограни- ченной линиями = 1, у = ± b.