Тема 3. Пределы.

а) Определения пределов. №1. Доказать, что . Определить, начиная с какого номера члены данной последовательности будут отличаться от её предела на величину, меньшую ε = 0,1; 0,01; 0,001. №2. Доказать, что = - 1. Определить, на какую величину должен отличаться аргумент х от - 1, чтобы данная функция отличалась от своего предела на величину, меньшую чем ε = 0,1; 0,02.

№3. Доказать, что не существует.

б) Алгебраические приёмы раскрытия неопределённостей. №4. Вычислить: а) ; б) ; в) (2х ⁵ – 10х ³ – 1); г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) ; и) ; й) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) ; п) ; р) ; с) . в) Замечательные пределы. №5. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) ; и) ; й) ; к) .

г) Вычисление пределов с помощью эквивалентностей. №6. Вычислить: .

Тема 4. Непрерывность функции.

№1. Исследовать на непрерывность функции: а) у = ; б) у = 3 - ; в) у = ; г) у = ; д*) у = .

Тема 5. Производная функции.

а) Вычисление производных с помощью определения. №1. Используя определение, найти производные функций: а) у = ; б) у = cos 2x; в) у = .

б) Практикум по вычислению производных. №2. Найти производные функций: а) у = 2х ⁷ – 5х ² + 2 + 1; б) у = + ; в) у = ln x; г) у = - arctg x; д) у = ; е) у = sin ; ё) у = arcsin + ; ж) у = ln (х + ); з) у = ln ; и) у = ; й) у = ; к) у = .

в) Производная неявной функции. №3. Найти производную у’_x , если ух + log ₂(х ² + у ²) – sin (ху) = 0.

г) Производные высших порядков. №4. Найти производную у’’’, если у = 5х ⁴ - + 2 ^х. №5. Найти производные п-го порядка: а) у = sin x; б) у = ln x.

Тема 6. Дифференциал.

№1. Найти полное приращение функции у = 2х ³ + 3х ² + 6х и её дифференциал, сравнить их. №2. Найти приближённые значения: а) arctg 0,97; б) .

Тема 7. Вычисление пределов с помощью производной. №1. Вычислить пределы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) .

Тема 8. Исследование функций.

а) Исследование по отдельным факторам. №1. Найти асимптоты кривой у = . №2. Найти интервалы монотонности функции у = х ³ – 6х ² – 15х + 2. №3. Найти экстремумы функции у = х . №4. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции у = 0,5х ³ + 3х ² – 18х + 20.

б) Полное исследование. №5. Построить графики функций: а) у = ; б) у = 3 - х; в) у = х ² ; г) у = х ln ; д) х arctg х.

Тема 9. Функции многих переменных.

а) Область определения. №1. Найти области определения функций и изобразить их графически: а) z = ; б) z = arcsin (х + у).

б) Частные производные. №2. Найти частные производные функций: а) z = х ² + 3х - у + ; б) z = arcsin . №3. Найти вторые частные производные функций: а) z = 3х ² + 2ху ² – 4ху + х ²у – у ³; б) и = sin .

в) Дифференциал. №4. Записать дифференциал функции z = 2х ² – ху + 3у ³. №5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение . №6. Вычислить, на сколько процентов приближённо изменится спрос, описываемый функцией q = 5474 , где п – число производителей товара, р – цена товара, если число производителей товара уменьшится на 1, а цена возрастёт на 1%. На рынке имеется 7 производителей, цена товара составляет 3 единицы.

г) Производная по направлению. №7. Найти производную функции z = х ³у – 5ху ² + 8 по направлению вектора l = {1; 1} в точке М (1; 1). №8. Найти производную функции и = ln (x ² + y ² + z ²) в точке М (1; 2; 1) по направле- нию вектора MN, где N (3; 6; 5). №9. Построить линии уровня функции z = 4 – х ² – у ². Найти градиент функции z в то- чке М₀ (1; 2) и его модуль.