Тема 1. Матрицы и определители.

№1. Выполнить умножение матриц АВ и ВА. а) , ; б) , . Коммутативны ли полученные произведения? №2. Вычислить матрицу , где , , . №3. Вычислить определители: а) ; б) ; в) ; г) . №4. Найти матрицы, обратные к данным: а) ; б) ; в) . №5. Решить матричные уравнения: а) ; б) . №6. Найти ранги матриц: а) ; б) .

Тема 2. Системы линейных уравнений. №1. Решить системы уравнений: а) б) в) г) д) е) ё) №2. Найти решения системы уравнений в зависимости от параметра а: а) б)

Тема 3. Многомерные векторы.

№1. Выяснить, являются ли векторными пространствами следующие множества с обычными операциями сложения элементов и умножения элементов на числа. Какие из приведённых множеств являются евклидовыми пространствами? а) все матрицы размерности с целыми элементами; б) все матрицы размерности с действительными элементами; в) все многочлены степени ровно п; г) все многочлены степени не выше п; д) множество многочленов Р(х), удовлетворяющих условию ; е) множество многочленов Р(х), удовлетворяющих условию ; ё) все непрерывные на отрезке [a; b] функции; ж) все действительные числа; з) множество точек п-мерного арифметического пространства Rⁿ.

№2. Выяснить, разлагается ли вектор В по данной системе векторов: а) , , , ; б) , , , ; в) , , , , . №3. Найти углы между векторами А₁ и А₂ из №2 (а, б, в). №4. Выяснить, являются ли данные системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми: а) ; б) . №5. Найти базис данной системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по нему. Является ли найденный базис ортогональным? нормированным? а) ; б) , причём базис должен содержать вектор А₅.

Тема 4. Квадратичные формы.

№1. Привести к каноническому виду квадратичную форму .

№2. Исследовать квадратичные формы на знакоопределённость двумя способами – приведением к каноническому виду и с помощью критерия Сильвестра: а) ; б) ; в) .

Тема 5. Комплексные числа.

№1. Выполнить действия: а) (2 + 3i) + (4 – 7i); б) (1 – i)(3 + 2i); в) . №2. Заданы ли следующие комплексные числа в тригонометрической форме: а) 2 ; б) - 3 ; в) 5 ; г) 4 . №3. Записать комплексное число - 3 – 4i в тригонометрической форме. №4. Вычислить, используя тригонометрическую форму числа: а) ; б) (1 + i ) ^{– 5}; в) ; г) ; д) . №5. Решить уравнения: а) х ² + 1 = 0; б) х ² – 2х + 10 = 0; в) х ⁴ – 6х ² + 25 = 0.

Раздел 2. Аналитическая геометрия.

Тема 1. Векторы.

№1. В треугольнике АВС сторона ВС разделена точкой D в отношении , то есть . Разложить вектор по векторам и . №2. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(3; -4; 7), В(-5; 3;-2), С(1; 2; -3). Найти вершину D. №3. Найти длины сторон параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и .

№4. Решить задачи двумя способами – геометрическим (с помощью теоремы косинусов) и алгебраическим (с помощью скалярного произведения векторов): а) Векторы и образуют угол , причём . Вычислить и . б) Дано: . Найти .

№5. Найти длины сторон и углы треугольника с вершинами А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0), С(3; -2; 1). №6. Определить, при каких значениях параметров α и β векторы и коллинеарны.

№7. Определить, при каком значении параметра т векторы и взаимно перпендикулярны. №8. Доказать, что векторы и ортогональны друг другу.

№9. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(3; -4; 7), В(-5; 3;-2), С(1; 2; -3).

№10. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах , , , и выяснить, образуют ли данные векторы правую или левую тройку.

№11. Вычислить объём тетраэдра с вершинами А(1; -9;5), В(-2; 8; -6), С(-7; -3; 4), D(2; 7; -5).

№12. Доказать, что если все вершины параллелепипеда имеют целочисленные координаты, то его объём выражается целым числом. Верно ли аналогичное утверждение для площади параллелограмма с целочисленными координатами всех вершин?