Вопросы по высшей математике.

1. Матрицы и действия над ними. Проиллюстрировать операцию умножения на примере матриц и . Обладает ли умножение матриц свойством коммутативности? 2. Определители матриц. Проиллюстрировать мнемонические правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков на примере матриц и .

3. Теорема Лапласа о вычислении определителей. Проиллюстрировать приём разложения определителя по строке (столбцу) на примере . 4. Сформулировать основные свойства определителей. Проиллюстрировать элементарные преобразования над строками (столбцами) на примере определителя из п.3.

5. Обратная матрица. Для каких матриц существуют обратные матрицы? Проиллюстрировать метод алгебраических дополнений отыскания обратной матрицы на примере матрицы . 6. Ранг матрицы. Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и с помощью элементарных преобразований. 7. Системы линейных уравнений. Понятие решения СЛУ. Совместные, несовместные, определённые СЛУ. СЛУ в матричной форме. Проиллюстрировать метод обратной матрицы решения СЛУ на примере системы 8. Теорема Крамера. Проиллюстрировать метод Крамера на примере решения СЛУ

9. Элементарные преобразования. Охарактеризовать процесс метода последовательного исключения неизвестных при решении СЛУ. Сколько решений может иметь СЛУ? От чего это зависит? Сформулировать теорему Кронекера-Капелли. Проиллюстрировать метод Гаусса на примере решения системы Сколько решений имеет эта система? 10. Сколько решений имеет система ? Можно ли её решить методом обратной матрицы или методом Крамера? 11. Сколько решений имеет система ? Можно ли её решить методом обратной матрицы или методом Крамера? Записать общее решение системы в координатной форме. Предъявить 2 каких-нибудь частных решения, в том числе базисное решение. 12. Многомерные векторы. В каком случае векторы считаются равными? Линейные операции над векторами. Линейные пространства. Аксиомы линейного пространства. Является ли множество всех многочленов степени не выше п линейным пространством? Останется ли верным утверждение, если потребовать, чтобы степень всех многочленов была равна точно п? 13. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Что можно сказать о линейной зависимости векторов А₁ = (0,1,1,0), А₂ = (1,1,3,1), А₃ = (1,3,5,1), А₄ = (0,1,1,-2)? 14. Базис векторного пространства. Теорема о разложении вектора по базису. Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по нему: А₁ = (5,2,-3,1), А₂ = (4,1,-2,3), А₃ = (1,1,-1,-2), А₄ = (3,4,-1,2), А₅ = (13,8,-7,4). 15. Скалярное произведение многомерных векторов. Модуль многомерного вектора. Формула угла между векторами. Евклидово пространство. Ортогональность векторов. Ортонормированный базис евклидова пространства. Вычислить угол между какой-нибудь парой векторов из п.14. 16. Квадратичная форма. Канонический вид квадратичной формы. Проиллюстрировать приём приведения к каноническому виду на примере квадратичной формы . Единственно ли приведение? Закон инерции квадратичных форм. 17. Матрица квадратичной формы. Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра знакоопределённости квадратичной формы. Исследовать на знакоопределённость квадратичную форму из п.16. 18. Комплексные числа в алгебраической форме. Арифметические действия над комплексными числами. Вычислить: . Геометрическое изображение комплексного числа. Модуль комплексного числа. Верно ли, что модуль отношения двух комплексных чисел равен отношению модулей этих чисел? Ответ проиллюстрировать на примере приведённого выше числа.

19. Полярная система координат на плоскости. Переход от полярных координат к прямоугольным и наоборот. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа в тригонометрической форме. Умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Вычислить, используя тригонометрическую форму: (1 + i ) ^{– 5}. 20. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Найти все значения . Сколько значений принимает радикал п-й степени из комплексного числа? Каков геометрический смысл такого радикала? Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

21. Вектор как геометрический объект. Каковы его характеристики? Модуль вектора. Коллинеарность векторов. Равенство векторов. Геометрические действия над векторами: сложение (правила треугольника, параллелограмма, параллелепипеда), умножение на число, вычитание. Решить задачу: В треугольнике АВС сторона ВС разделена точкой D в отношении m : n, то есть . Разложить вектор по векторам = и = . 22. Вектор как алгебраический объект. Каковы его характеристики? Модуль вектора. Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца. Действия над векторами в координатной форме. Условие коллинеарности векторов. Решить задачу: Дан параллелограмм АВСD с вершинами А(1;2;3), В(3;-4;-2), С(-4;-3;2). Найти его вершину D. 23. Скалярное произведение векторов. Вывести формулу угла между векторами. Условие перпендикулярности векторов. Вычислить острый угол параллелограмма из задачи п.22. 24. Векторное произведение векторов. Обладает ли векторное произведение свойством коммутативности? Что произойдёт с векторным произведением, если векторы поменять местами? Чем правая тройка векторов отличается от левой? Векторное произведение векторов в координатной форме. Каков геометрический смысл векторного произведения? Вычислить площадь параллелограмма из задачи п. 22. 25. Какие могут быть комбинации перемножения трёх векторов? Смешанное произведение векторов. Обладает ли смешанное произведение векторов свойством ассоциативности (сочетательности)? Смешанное произведение векторов в координатной форме. Каков геометрический смысл смешанного произведения векторов? Чему равно смешанное произведение трёх компланарных векторов? Решить задачу: Вычислить объём тетраэдра с вершинами А(1; -9;5), В(-2; 8; -6), С(-7; -3; 4), D(2; 7; -5). Какова тройка использующихся при решении задачи векторов – правая или левая?

26. Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Решить задачу: На координатной плоскости построить точку (- 2; 3), вектор = (4; - 1) и прямую, проходящую через данную точку перпендикулярно вектору . Записать общее уравнение этой прямой. 27. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Решить задачу: Издержки производства 100 штук некоторого товара составляют 300 руб., а 500 шт. – 600 руб. Найти издержки производства 400 шт. товара при условии, что функция издержек линейна. 28. Уравнение прямой в отрезках. Решить задачу: Определить площадь треугольника, образованного прямой 2х + 5у – 20 = 0 с осями координат.

29. Угол между прямыми, записанными в общем виде. Угол между прямыми с заданными угловыми коэффициентами. Решить задачу: Написать уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 3) под углом 45 ⁰ к прямой 5х + 2у – 4 = 0. 30. Алгоритм отыскания точки пересечения прямых. Решить задачу: Издержки перевозки двумя средствами транспорта выражаются функциями у = 150 + 50х и у = 250 + 25х, где х – расстояние перевозки в сотнях километров, а у – транспорт-ные расходы в денежных единицах. Определить, начиная с какого расстояния более экономичным становится второе средство.

31. Формула расстояния от точки до прямой. Решить задачу: Стороны треугольника описываются уравнениями: х + 3у – 7 = 0 (АВ), 4х – у – 2 = 0 (ВС), 6х + 8у – 35 = 0 (АС). Найти длину высоты, проведённой из вершины В. 32. Условия параллельности, перпендикулярности прямых, заданных как в общем виде, так и с угловыми коэффициентами. Решить задачу: Составить уравнение прямой, симметричной прямой относительно точки М(5: 1). 33. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Решить задачу: Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох и проходящей через точки М₁ (0; 1; 3) и М₂ (2; 4; 5).

34. Уравнение плоскости в отрезках. Решить задачу: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (5; 4; 3) и отсекающей равные отрезки на осях координат. 35. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Решить задачу: Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (6; 1; 4). 36. Угол между плоскостями. Решить задачу: Вычислить угол между плоскостями, проходящими через точку М (1; - 1; - 1), одна из которых содержит ось Ох, а другая – ось Оz. 37. Условия параллельности, перпендикулярности плоскостей. Решить задачу: Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (- 1; - 1; 2) и перпендикулярной плоскостям х – 2у + z – 4 = 0 и х + 2у – 2z + 4 = 0. 38. Формула расстояния от точки до плоскости. Решить задачу: Найти расстояние между плоскостями 4х + 3у – 5z – 8 = 0 и 8х + 6у – 10z + 12 = 0.

39. Общие уравнения прямой в пространстве. Канонические уравнения прямой в пространстве. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Решить задачу: Написать уравнения прямой, проходящей через точку М (1; 4; - 1) и параллельной прямой {х – у – 2 = 0, у – 2z – 1 = 0}.

40. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки. Решить задачу: Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки М (2; - 8; 4) на ось Оz.

41. Угол между прямыми в пространстве. Решить задачу: Найти угол между прямой {х – 2z + 1 = 0, y + 2z – 1 = 0} и прямой, проходящей через точки А(1; -5; 9) и В(1; - 1; - 1).

42. Условия параллельности, перпендикулярности прямых в пространстве. Решить задачу: Доказать, что прямая перпендикулярна прямой {x – y + 1 = 0, x + z – 1 = 0}.

43. Алгоритм отыскания точки пересечения прямой и плоскости. Решить задачу: Найти точку пересечения прямой с плоскостью х + 2у + 3z – 19 = 0.

44. Угол между прямой и плоскостью. Решить задачу: Найти угол между прямой {3x – y – 1 = 0, 3x + 2z – 2 = 0} и плоскостью 2х + у + z – 4 = 0. 45. Общее уравнение кривых 2-го порядка. Уравнение окружности. Построить кривую х ² + у ² – 8х + 6у – 11 = 0.

46. Эллипс и его характеристики. Построить кривую х ² + 4у ² – 6х + 8у – 3 = 0. 47. Гипербола и её характеристики. Построить кривую 16х ² – 9у ² – 64х + 54у – 161 = 0.

48. Парабола и её характеристики. Построить кривую х ² + 4х + 2у + 4 = 0.

49. Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа. Какие числа записываются десятичными периодическими дробями? Какие – десятичными бесконечными непериодическими дробями? Представить в виде обыкновенной дроби число 0,2(54). Изображение действительных чисел на прямой. Плотность множества действительных чисел. Счётные и несчётные множества. Парадокс континуума. Какое множество содержит больше точек: отрезок [0; 1] или отрезок [0; 2]? 50. Модуль числа. Геометрический смысл модуля. Неравенства, содержащие модуль. Решить неравенства < 1, > 5.

51. Функция. Область определения функции. Множество значений функции. Возрастание, убывание функции. Периодичность функции. Обратная функция. Для всякой ли функции существует обратная функция? Каково достаточное условие обратимости функции? Как ведут себя графики двух взаимно-обратных функций? Найти функцию, обратную для функции . Что можно сказать о множествах определения и значений двух взаимно-обратных функций? 52. Основные элементарные функции. Алгебраические и трансцендентные функции. Степенная функция, её частные случаи и графики. Построить график функции у = 2(х – 1) + 3.

53. Показательная функция и её график. Что можно сказать о характере монотонности показательной функции? От чего он зависит? Построить график функции у = .

54. Определение логарифма. Основные свойства логарифма. Вычислить: .

55. Логарифмическая функция, её взаимосвязь с показательной функцией. График логарифма. Построить график функции у = .

56. Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла через соотношения сторон в прямоугольном треугольнике. Определение тригонометрических функций с помощью единичной окружности. Основное тригонометрическое тождество и его следствия. Формулы суммы, разности синусов, косинусов; синуса, косинуса суммы, разности; двойного аргумента; половинного аргумента. Решить задачу: Известно, что ctg 2 = ,

0 < < . Найти cos ² .

57. Функция у = sin x и её основные свойства: область определения, множество значений, периодичность, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности. Функция у = cos x и её основные свойства. Как можно получить график косинуса из графика синуса? 58. Функция у = tg x и её основные свойства: область определения, множество значений, периодичность, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности. Функция у = ctg x и её основные свойства. 59. Определение обратных тригонометрических величин с помощью теоремы о существовании обратной функции и теоремы о графиках взаимно-обратных функций. Графики арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса. Вычислить: cos (arctg 0,75) + ctg (arcсos (-0,96)).

60. Преобразования графиков: смещение вдоль осей, деформация (растяжение-сжатие) вдоль осей, зеркальный поворот относительно осей. Построить график функции у = - 2 .

61. Числовая последовательность. Рекуррентный способ задания последовательности (проиллюстрировать на примере последовательности Фибоначчи из задачи о размножении кроликов). Ограниченность и неограниченность последовательности. Монотонные последовательности. 62. Предел последовательности. Доказать, что . Определить, начиная с какого номера члены данной последовательности будут отличаться от её предела на величину, меньшую 0,1; 0,01; 0,001. Геометрический смысл предела последовательности. 63. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности (определение на языке неравенств). Какова связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями? Что можно сказать о пределах и ? Теорема о связи между последовательностью, её пределом и бесконечно малой. Арифметические свойства пределов.

64. Как раскрывается неопределённость вида , если числитель и знаменатель дроби представляют собой степенные выражения? Проиллюстрировать приём на примере .

65. Как раскрывается неопределённость вида ( ) с иррациональными выражениями? Проиллюстрировать приём на примере . Можно ли утверждать, что ( ) = 0? Ответ проиллюстрировать на контрпримере .

66. Определение предела функции (по Коши). Доказать, что = - 1. Определить, на какую величину должен отличаться аргумент х от - 1, чтобы данная функция отличалась от своего предела на величину, меньшую чем 0,1; 0,02. Геометрический смысл предела функции. Бесконечный предел функции (определение на языке неравенств).

67. Определение предела функции (по Гейне). Доказать, что функция sin x не имеет предела при стремлении х к .

68. Теорема Безу о разложении многочлена на множители. Как раскрывается неопределённость вида , если числитель и знаменатель представляют собой многочлены? Проиллюстрировать приём на примере . 69. Как раскрывается неопределённость вида , если числитель или знаменатель содержат иррациональные выражения? Проиллюстрировать приём на примере .

70. Первый замечательный предел и его следствия. Вычислить .

71. Второй замечательный предел и его следствия. Вычислить .

72. Сравнение бесконечно малых функций. Порядок малости. Сравнить функции (х) = х sin х и (х) = е ^х – 1 при х → 0.

73. Эквивалентные бесконечно малые величины. Основные эквивалентности. Проиллюстрировать применение эквивалентности на примере вычисления . 74. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на промежутке. Точки разрыва и их классификация. Исследовать на непрерывность функции у = , у = , у = . Построить графики этих функций.

75. Задачи, приводящие к понятию производной: задача о скорости движения, задача о производительности труда. Определение производной функции в точке. Дифференци-руемость функции на промежутке. Механический и экономический смыслы производной. 76. Бином Ньютона. Вывод формул производных степенной функции у = х ^п при п N, функций у = sin x, y = e ^x, y = ln x. Формула производной функции y = cos x.

77. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Вывод формул производных функций у = а ^х, у = log _а х, у = tg x, y = ctg x, у = х ^α (α R).

78. Производная обратной функции. Вывести формулы производных функций у = ln x, у = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

79. Логарифмическое дифференцирование. Проиллюстрировать приём на примере вычисления производной степенно-показательной функции у = х ^х.

80. Проиллюстрировать приём вычисления производной неявной функции на примере равенства ух + log ₂ (x ² + y ²) – sin (xy) = 0.

81. Производные высших порядков. Найти производные п-го порядка функций у = sin x, y = ln x.

82. Главная часть бесконечно малой функции. Определение дифференциала функции. Формула дифференциала. Вывод формулы для приближённого вычисления функции через её дифференциал. Проиллюстрировать формулу на примере вычисления arctg 0,97.

83. Правило Лопиталя раскрытия неопределённости вида . Проиллюстрировать правило на примере .

84. Правило Лопиталя раскрытия неопределённости вида . Проиллюстрировать правило на примере .

85. Как реализуется правило Лопиталя при раскрытии неопределённости вида (0 )? Проиллюстрировать приём на примере .

86. Как реализуется правило Лопиталя при раскрытии неопределённостей степенно-показательного вида? Проиллюстрировать приём на примере .

87. Секущая и касательная к графику функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Решить задачу: Составить уравнение касательной к графику функции у = х ² + 2 в точке х ₀ = 1.

88. Угол между кривыми. Построить кривые 2у =х ² и 2у = 8 – х ². Какого они типа? Найти углы между ними.

89. Признаки монотонности функции, их обоснование с помощью геометрического смысла производной. Определить интервалы монотонности функции у = х ³ – 6х ² – 15х + 2.

90. Точки максимума и минимума функции. Каково обобщающее название максимума и минимума? Необходимое условие экстремума функции. Является ли оно достаточным? Ответ проиллюстрировать на контрпримере функции у = х ³ и точки х = 0. Чем для функции является точка, в которой выполняется необходимое условие экстремума? Какая точка называется критической для функции? Достаточные условия экстремума функции, их обоснование с помощью геометрического смысла производной. Найти экстремумы функции у = х . 91. Выпуклость вверх и выпуклость вниз кривой. Признаки выпуклости кривой. Определить интервалы выпуклости графика функции у = 0,5х ³ + 3х ² – 18х + 20.

92. Точка перегиба кривой. Необходимое условие точки перегиба. Является ли оно достаточным? Ответ проиллюстрировать на контрпримере функции у = х ⁴ и точки х = 0. Какая точка называется критической 2-го порядка для функции? Достаточное условие точки перегиба. Найти точки перегиба графика функции у = х ⁴ + 2х ³ – 12х ² – 5х + 2.

93. Как исследуется поведение функции вблизи границ области её определения? Проиллюстрировать приём на примере функции у = .

94. Асимптота кривой. В каком случае график функции у = f (x) имеет вертикальную асимптоту? Формулы параметров наклонной асимптоты графика функции у = f (x). Найти асимптоты кривой у = .

95. Как отыскать точки пересечения графика функции у = f (x) с осями координат? Проиллюстрировать приём на примере функции у = log ₂ (4 – x ²). Сколько общих точек может иметь график функции у = f (x) с осью Оу? С осью Ох?

96. Общая схема исследования функции у = f (x). Исследовать функцию у = и построить её график.

97. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Решить задачу: Издержки производства некоторого товара равны ТС = 4 + 15Q; спрос на товар определяется функцией Р = - Q ² + 20Q + 2; 10 ≤ Q ≤ 20. Найти объём продукции Q , максимизирующий прибыль.

98. Первообразная. Общее свойство первообразных. Неопределённый интеграл. Основные правила интегрирования. Таблица простейших интегралов. Найти интеграл . 99. Метод замены переменной при интегрировании. Проиллюстрировать метод на

примере интеграла .

100. Интегрирование по частям. Проиллюстрировать метод на примере интеграла .

101. Циклическое интегрирование. Проиллюстрировать на примере интеграла .

102. Алгоритм интегрирования рациональных дробей. Проиллюстрировать приём на примере интеграла .

103. Интегрирование рациональных дробей со знаменателем, не разложимым на линейные множители. Проиллюстрировать приём на примере интеграла .

104. Интегрирование рациональных дробей с кратными действительными корнями знаменателя. Проиллюстрировать на примере интеграла . 105. Интегрирование рациональных дробей с кратными комплексными корнями знаменателя. Проиллюстрировать на примере интеграла .

106. Понижение степени при интегрировании тригонометрических выражений. Проиллюстрировать приём на примере интеграла .

107. Интегрирование произведений синусов и косинусов. Проиллюстрировать приём на примере интеграла .

108. Универсальная тригонометрическая подстановка. Проиллюстрировать её применение при интегрировании на примере интеграла .

109. Какая тригонометрическая подстановка применяется при интегрировании иррационального выражения с подкоренным многочленом вида а ² – х ²? Ответ проиллюстрировать на примере интеграла .

110. Какая тригонометрическая подстановка применяется при интегрировании иррационального выражения с подкоренным многочленом вида а ² + х ²? Ответ проиллюстрировать на примере интеграла .

111. Какая тригонометрическая подстановка применяется при интегрировании иррационального выражения с подкоренным многочленом вида х ² – а ²? Ответ проиллюстрировать на примере интеграла .

112. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определённого интеграла. Вычислить .

113. Замена переменных в определённом интеграле. Проиллюстрировать приём на примере интеграла . 114. Интегрирование по частям в определённом интеграле. Проиллюстрировать приём

на примере интеграла .

115. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Вычислить . 116. Несобственные интегралы от функций, неограниченных на отрезке интегрирования. Сходится ли интеграл ? Какой результат дало бы формальное применение формулы Ньютона-Лейбница?

117. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. Проиллюстрировать формулу на примере вычисления фигуры, ограниченной линиями у = , у = х ². 118. Вычисление объёма тела вращения. Проиллюстрировать формулу на примере вычисления объёма тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у ² = 9х, у = 3х. 119. Функция многих переменных. Множество какой размерности представляет собой область определения функции z = ? Изобразить эту область графически. Каково множество значений этой функции? Каковы линии уровня этой функции?

120. Частные производные функции многих переменных. Частные производные высших порядков. Что можно сказать о смешанных частных производных по выбранным переменным с разным порядком дифференцирования? Найти все вторые частные производные от функции u = sin .

121. Дифференциал функции многих переменных. Дифференциалы высших порядков. Записать дифференциал 2-го порядка от функции z = 3х ² + 2ху ² – 4ху + х ²у – у ³. Что представляет собой дифференциал 2-го порядка с точки зрения линейной алгебры?

122. Приращение функции многих переменных. Связь между приращением и дифференциалом. Формула приближённого вычисления функции через дифференциал. Проиллюстрировать приближённое вычисление на примере выражения 3,01 ^2,03. 123. Производная по направлению. Вычислить производную функции z = x ² + xy + y ² + 2x + 2y в точке М (1; 1) по направлению вектора l= (3; 4). 124. Градиент. Каков геометрический смысл градиента функции трёх переменных? Найти градиент функции u = x ² + 3xy ² – z ³y в точке М (- 2; 3; - 1).

125. Точки максимума, минимума функции п переменных. Каково обобщающее название для этих точек? Что собой представляет п-мерный шар? Каковы необходимые условия экстремума функции п переменных? Как называются точки, удовлетворяющие этим условиям? Достаточны ли эти условия для экстремальности? Ответ проиллюстрировать на контрпримере функции . Каковы достаточные условия для существования экстремума у дважды дифференцируемой функции п переменных? 126. Схема исследования функции многих переменных на локальный экстремум. Проиллюстрировать алгоритм отыскания экстремумов на примере функции u = 2x ² – xy + 2xz – y + y ³ + z ². 127. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции многих переменных на ограниченном замкнутом множестве. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = на круге радиуса 1, с центром в точке (0; 0).

128. Условный экстремум. Является ли условный экстремум функции её локальным экстремумом? Метод исключения части переменных. Проиллюстрировать метод на примере функции u = x + y + z ² при условиях связи {z – x = 1, y – xz = 1}.

129. Интегральная сумма для функции от двух переменных по замкнутой области. Двойной интеграл. Основные свойства двойного интеграла. Проиллюстрировать сведение двойного интеграла к повторному на примере , если область D ограничена линиями , , . 130. Интегральная сумма для функции от трёх переменных по замкнутой области. Тройной интеграл. Основные свойства тройного интеграла. Проиллюстрировать сведение тройного интеграла к повторному на примере , если область G ограничена поверхностями , , , . 131. Как с помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской фигуры? Ответ проиллюстрировать на примере фигуры, ограниченной линиями , . 132. Что такое цилиндрическое тело? Как с помощью двойного интеграла вычислить объём цилиндрического тела? Ответ проиллюстрировать на примере тела, ограниченного снизу плоскостью хОу, сверху – поверхностью , а с боков - плоскостями , , , . 133. Как с помощью тройного интеграла вычислить объём замкнутого тела? Ответ проиллюстрировать на примере тела, ограниченного поверхностями , , , . 134. Как с помощью двойного и тройного интегралов вычислить массы фигуры и тела? Ответ проиллюстрировать на примере тела с плотностью , ограниченного поверхностями , , , , , . 135. Как с помощью двойного интеграла вычислить координаты центра масс плоской пластины? Ответ проиллюстрировать на примере однородной пластины, ограниченной линией и осью Ох. 136. Числовой ряд. Частичная сумма ряда. Суммирование рядов с общим членом в виде элементарной рациональной дроби. Проиллюстрировать приём суммирования на примере ряда . 137. Сходимость и расходимость числового ряда. Используя определение сходимости, исследовать геометрический ряд . Свойства сходящихся рядов. 138. Гармонический ряд. Доказать расходимость гармонического ряда. 139. Необходимый признак сходимости числового ряда. Что можно сказать о сходимости ряда, общий член которого не стремится к нулю? В качестве иллюстрации к ответу придумать какой-нибудь ряд с конкретной формулой общего члена. Носит ли необходимый признак достаточный характер? Ответ проиллюстрировать на контрпримере гармонического ряда .

140. Признак сравнения для знакоположительных рядов. Проиллюстрировать его применение на примере ряда , предварительно вычислив сумму ряда . 141. Предельный признак сравнения для знакоположительных рядов. Проиллюстриро-вать его применение на примере ряда . Каков подобранный эталонный ряд? 142. Признак Даламбера. Проиллюстрировать его применение на примере ряда . Для всякого ли знакоположительного ряда можно применить признак Даламбера или имеется ограничение его возможностей? 143. Признак Коши. Проиллюстрировать его применение на примере ряда . Для всякого ли знакоположительного ряда можно применить признак Коши или имеется ограничение его возможностей? 144. Интегральный признак Коши-Маклорена. Проиллюстрировать его применение на примере обобщённого гармонического ряда . 145. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Проиллюстрировать его применение на примере ряда . Насколько существенно в этом признаке монотонное убывание модулей членов ряда? Ответ проиллюстрировать на контрпримере ряда . 146. Что можно сказать о величине отброшенного остатка знакочередующегося лейбницевского ряда? Какое число членов ряда надо взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001? 147. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Абсолютная и условная сходимости числового ряда. Можно ли переставлять местами члены абсолютно сходящегося ряда? члены условно сходящегося ряда? Ответ проиллюстрировать на контрпримере ряда , перегруппировав его члены определённым образом. Теорема Римана. 148. Степенные ряды. Теорема Абеля. Какова структура области сходимости степенного ряда? Какой признак сходимости числового ряда позволяет получить формулу для радиуса сходимости степенного ряда? Проиллюстрировать алгоритм отыскания области сходимости степенного ряда на примере . 149. Ряд Тейлора. Разложить функцию f (х) = х ² – х + 2 + ln (х – 2) в степенной ряд в окрестности точки х ₀ = 3. 150. Ряд Маклорена. Разложения в ряд Маклорена функций е ^х, sin x, cos x, ln (1 + x), (1+ х) ^т. Разложить функцию f (х) = ln в ряд Маклорена. 151. Почленное дифференцирование степенного ряда. Проиллюстрировать приём на примере суммирования ряда . 152. Почленное интегрирование степенного ряда. Проиллюстрировать приём на примере разложения в ряд функции f (х) = arctg x с предварительным разложением в биномиальный ряд Маклорена функции . 153. Применяя ряд Маклорена, вычислить sin 20⁰ с точностью до 0,0001. 154. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Решение дифференциального уравнения. Является ли функция у = решением уравнения у ^“ + y y ^‘ = 0 ?

Является ли она общим решением? Что собой представляет интегральная кривая рассмотренного уравнения? Построить её. Как превратить решение в интеграл уравнения? 155. Проиллюстрировать алгоритм составления дифференциального уравнения заданного семейства кривых на примере функции у = С ₁е ^2х + С ₂е ^{– х}. Каков тип составленного уравнения? Решить задачу Коши с начальными условиями у (0) = 1, у ^‘ (0) = - 1.

156. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Проиллюстриро-вать приём интегрирования на примере уравнения (х ² – 1) у ^‘ + 2ху ² = 0. Решить задачу Коши при начальном условии у (0) = 1. Построить соответствующую интегральную кривую. 157. Однородные функции. Привести пример какой-нибудь однородной функции 3-го порядка. Однородные дифференциальные уравнения. Проиллюстрировать метод интегрирования на примере уравнения у ^‘ = . Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл? Возможна ли в данном случае запись в виде решения?

158. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Проиллюстрировать метод вариации произвольной постоянной при интегрировании линейного уравнения на примере у ^‘ - у = 2х ³. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл? Для всякого ли линейного уравнения возможна запись общего решения? 159. Проиллюстрировать метод замены искомой функции произведением двух функций при интегрировании линейного уравнения на примере у ^‘ + у tg х = . Решить задачу Коши при начальном условии у (0) = 1. Построить соответствующую интегральную кривую. 160. Дифференциальное уравнение Бернулли. Проиллюстрировать метод подстановки при интегрировании на примере уравнения у ^‘ + у = у ²х. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл? Для всякого ли уравнения Бернулли возможна запись общего решения? Какими методами ещё можно проинтегрировать уравнение Бернулли? 161. Уравнение в форме дифференциалов. Критерий уравнения в полных дифференци-алах. Проиллюстрировать метод интегрирования на примере уравнения 2х cos ²у dx + (2y – x ²sin 2y) dy = 0. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл?

162. Уравнения высших порядков, не содержащие явно искомой функции и её первых производных. Проиллюстрировать метод интегрирования на примере уравнения х ²у ^‘’ + ху ^‘ = 1. Что получилось в результате интегрирования – общее решение или общий интеграл? Сколько в записи произвольных постоянных? 163. Уравнения высших порядков, не содержащие явно независимой переменной. Проиллюстрировать метод интегрирования на примере уравнения у ^‘’ + 2 y y ^‘ = 0 с начальными условиями у (0) = 2, y ^‘ (0) = - 4. Возможно ли отыскание общего решения приведённого уравнения, без привлечения начальных условий задачи Коши? 164. Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение, соответствующие линейному однородному д.у. Проиллюстрировать зависи- мость вида общего решения линейного однородного д.у. от корней характеристичес-кого многочлена на примере уравнений: у ^‘’’ – 2y ^“ – y ^‘ + 2y = 0, у ^‘’’ – 4y ^“ + 6y ^‘ - 4y = 0, у ^‘’’ – 5y ^“ + 8y ^‘ - 4y = 0, y ^“” + 4у ^‘’’ + 8y ^“ + 8y ^‘ + 4y = 0. 165. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами. Проиллюстрировать метод вариации произвольных постоянных при интегрировании линейного неоднородного д.у. на примере уравнения у ^‘’’ – 6y ^“ + 9y ^‘ = х е ^3х.

Вопросы по теории вероятностей и математической статистике. 1. Размещения с повторениями. Формула размещений с повторениями. Решить задачу: Сколько разных символов можно закодировать одним Байтом информации, т.е. с помощью последовательности 8 нулей и единиц?

2. Размещения без повторений. Формула размещений без повторений. Решить задачу: Заявка команды по мини-футболу для участия в матче насчитывает 9 человек. На площадке одновременно могут находиться 5 игроков: вратарь, левый и правый защитники, левый и правый нападающие. Сколько разных команд может выйти на площадку в начале матча?

3. Перестановки без повторений. Формула перестановок без повторений. Решить задачу: Сколькими способами 6 человек могут сесть на 6 стульев?

4. Сочетания без повторений. Чем сочетания отличаются от размещений? Формула сочетаний без повторений. Решить задачу: Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для соревнования по бегу, если имеются 7 бегунов? Как изменится решение задачи, если соревнования по бегу носят характер эстафеты?

5. Перестановки с повторениями. Формула перестановок с повторениями. Решить задачу: Сколько разных «слов» можно составить при перестановке букв слова «топот»?

6. Сочетания с повторениями. Формула сочетаний с повторениями. Решить задачу: Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в распоряжении имеются 4 сорта пирожных?

7. Понятие исхода. Вероятностное пространство. Понятие события. Классификация событий: достоверные, невозможные, случайные. Классическое определение вероятности. Каковы пределы изменения вероятности события? Решить задачу: Из 20 акционерных обществ (АО) 4 являются банкротами. Гражданин приобрёл по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций 2 окажутся акциями банкротов?

8. Геометрическое определение вероятности. Решить задачу: В квадрат вписан круг. В этот квадрат наудачу брошена точка. Какова вероятность, что точка попадёт в круг? 9. Сумма событий. Произведение событий. Несовместные события. Теорема о вероятности суммы двух несовместных событий. Обобщение теоремы на случай п попарно несовместных событий. Решить задачу: Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,3, а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков?

10. Противоположные события. Теорема о вероятности противоположных событий. Теорема о вероятности суммы произвольных событий. Решить задачу: На тактических занятиях зенитная батарея стреляет по двум беспилотным самолётам. Найти вероятность того, что самолёты не будут сбиты, если вероятность сбить один самолёт равна ½, а два самолёта – 1/8.

11. Независимые события. Проиллюстрировать понятие независимости событий на примере событий А = «выпало чётное число очков» и В = «число выпавших очков делится на 3» при бросании игральной кости. Обобщение понятия независимости на большое количество событий. Решить задачу: Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.

12. Как изменяется вероятность события после получения добавочной информации? Проиллюстрировать ответ на примере выпадения 6 очков при бросании игрального кубика, в предположении, что выпало чётное число очков; нечётное число очков. Условная вероятность. Теорема об условной вероятности. Формула умножения. Решить задачу: Вероятности попадания при одном выстреле для каждого из трёх стрелков соответственно равны 0,8; 0,6; 0,5. При одновременном выстреле всех троих в одну мишень произошло два попадания. Найти вероятность того, что промахнулся первый стрелок. 13. Формула полной вероятности. Решить задачу: Партия электрических лампочек на 20% изготовлена заводом I, на 30% - заводом II, на 50% - заводом III. Для завода I вероятность выпуска бракованной лампочки равна 0,01, для завода II – 0,005, для завода III - 0,006. Какова вероятность того, что взятая наудачу из партии лампочка окажется бракованной?

14. Как вычислить вероятность осуществления какой-то гипотезы в предположении, что рассматриваемое событие уже наступило? Формула Байеса. Решить задачу: В цеху стоят 50 ящиков с исправными деталями и 3 ящика с бракованными деталями. Среди исправных деталей 90% отникелированы, а из числа бракованных никелиро-ваны лишь 5% деталей (в каждом ящике). Вынутая наугад деталь оказалась нике-лированной. Какова вероятность, что она исправна?

15. Как вычислить вероятность того, что в серии из п испытаний некоторое событие произойдёт ровно т раз? Теорема Бернулли. Решить задачу: В результате обследования были выделены семьи, имеющие по 4 ребёнка. Считая вероятности появления мальчика и девочки в семье равными, найти вероятность появления в ней не более одной девочки.

16. Имеет ли практическую применимость теорема Бернулли при большом количестве испытаний? Формула Пуассона. Точные ли значения вероятности даёт эта формула? Решить задачу: В новом микрорайоне поставлено 10 000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажут 3 замка.

17. Закон больших чисел Бернулли-Чебышева. Велико или мало количество серий испытаний, в которых экспериментальная частота значительно отличается от теоретической вероятности? Решить задачу: При штамповке деталей брак составляет 2%. Найти вероятность того, что при проверке партии в 2000 деталей отклонение от установленного процента брака составит менее 1%.

18. Дискретная случайная величина. Закон распределения вероятностей дискретной величины. Функция распределения. Что представляет собой график функции распределения дискретной случайной величины? Решить задачу: Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 билета с выигрышем. Наудачу покупают 2 билета. Написать закон распределения вероятностей числа выигрышных билетов среди купленных. Составить функцию распределения и построить её график.

19. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение. Какой смысл носят математи-ческое ожидание и дисперсия? Решить задачу: Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на втором – 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Написать закон распределения числа банок с продукцией высшего качества. Найти числовые характеристики рассматриваемой случайной величины. 20. Генеральная и выборочная совокупности. Чем различаются между собой дискретный и интервальный вариационные ряды? Решить задачу: На фирме проведено исследование числа рабочих дней, пропущенных каждым работником в течение месяца. Получены результаты: 0, 1, 3, 0, 2, 3, 5, 7, 3, 5, 2, 10, 7, 5, 0, 2, 5, 10, 5, 3, 1, 9, 15,10, 1, 0, 2, 3, 5, 7. Составить эмпирическую функцию распределения, построить полигон относительных частот. Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, несмещённую дисперсию по данной выборке.

21. Непрерывная случайная величина. Функция распределения. Плотность распределе-ния вероятностей. Как по заданной плотности найти функцию распределения? Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал? Решить задачу: Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х 0, если х ≤ 1,

f (х) = х - ½, если 1 < х ≤ 2, 0, если х > 2. Найти функцию распределения, построить её график. Найти вероятность того, что величина Х примет значение из промежутка (1,5; 3).

22. Всякая ли непрерывная функция пригодна на роль плотности распределения вероятностей некоторой случайной величины? Какому условию она должна удовлетворять? Решить задачу: Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задана в виде f (х) = . Найти параметр С.

23. Числовые характеристики непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, мода. Решить задачу: Случайная величина Х задана плотностью вероятности f (х) = - х ² + 6х - на интервале (3; 5). Вне этого интервала f (х) = 0. Найти числовые характеристики этой величины.

24. Равномерное распределение и его плотность вероятности. Вычислить математи-ческое ожидание и дисперсию равномерно распределённой случайной величины. Решить задачу: Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 мин. Считая, что случайная величина Х – время ожидания автобуса – распределена равномерно, найти среднее время ожидания автобуса. 25. Показательное распределение и его плотность вероятности. Вычислить функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию показательно распределённой случайной величины. 26. Нормальное распределение и его плотность вероятности. Математическое ожида-ние, среднее квадратичное отклонение нормально распределённой случайной величины. Функция Лапласа. Чем она является для нормальной случайной величины? Как отыскать вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал? Проиллюстрировать эту процедуру на примере нормальной величины, принимающей значение в интервале (14; 16), с математическим ожиданием 12 и средним квадратичным отклонением 2.

Практикум. Раздел 1. Алгебра.