4. Пределы.

Числовая последовательность; способы задания последовательности: явный, рекуррентный. Монотонность последовательности. Предел числовой последовательнос-ти. Геометрический смысл предела последовательности. Предел функции в бесконеч-ности и его геометрический смысл. Предел функции в точке и его геометрический смысл. Односторонние пределы. Бесконечно малые величины. Связь бесконечно малых с пределами функций. Свойства бесконечно малых величин. Бесконечно большие величины и их свойства. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Арифметические действия над пределами. Первый замечательный предел и его следствия. Второй замечательный предел и его следствия. Число е. Задача о непрерывном начислении процентов. Бесконечно малые величины и порядок их малости. Сравнение бесконечно малых. Главная часть бесконечно малой величины. Эквивалентные бесконечно малые. Основные эквивалентности. Вычисление пределов с помощью основных эквивалентностей. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на промежутке. Арифметические свойства непрерывных функций. Точки разрыва функции и их классификация.

5. Производная. Задачи, приводящие к понятию производной: задача о скорости движения, задача о производительности труда. Определение производной функции в точке. Дифференцируемость функции в точке и на промежутке. Механический смысл производной. Экономический смысл производной. Теорема о зависимости между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции. Производная неявной функции. Производные высших порядков.

6. Приложения производной. Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Правила Лопиталя. Касательная к графику функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Теорема Ферма и её геометрический смысл. Признаки монотонности функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Первое и второе достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость вверх и выпуклость вниз кривой. Признаки выпуклости кривой. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

7. Интеграл.

Первообразная функция. Общий вид первообразных. Неопределённый интеграл. Основные правила интегрирования. Интегралы от основных элементарных функций. Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование иррациональностей. «Неберущиеся» интегралы. Определённый интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла: задача о площади криволинейной трапеции. Экономический смысл интеграла. Достаточное условие существования определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям в определённом интеграле. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Геометрические приложения определённого интеграла: площадь криволинейной трапеции; объём тела вращения.

8. Функции нескольких переменных. Функция п переменных. График функции двух переменных. Линии уровня функции 2-х переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Частные производные. Дифференциал. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Производная по направлению. Градиент. Экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Схема исследования функции двух переменных на экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции. Условный экстремум. Метод исключения части переменных.

9. Кратные интегралы. Интегрируемые суммы для функций от двух и от трёх переменных. Двойной интеграл. Тройной интеграл. Сведение кратных интегралов к повторным. Геометрические и физические приложения двойных и тройных интегралов. 10. Ряды. Числовой ряд. Сходимость и расходимость числовых рядов. Свойства сходящих-ся рядов. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признак сравнения, предельный признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак Коши-Маклорена. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Основные разложения в ряд Маклорена элементарных функций. Почленное дифференцирование и почленное интегрирование степенных рядов. Разложение функций в ряд с помощью основных разложений. Применение рядов в приближённых вычислениях.

11. Дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основные понятия: решение, интеграл, общее решение, общий интеграл, интегральная кривая. Составление дифференциальных уравнений по семейству кривых. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа интегрирования линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

12. Теория вероятностей и математическая статистика. Классификация событий: достоверные, случайные, невозможные. Классическое опре-деление вероятности. Геометрическое определение вероятности. Сумма, произведение событий. Несовместные события. Правила суммы несовместных и произвольных со-бытий. Противоположные события. Независимые события. Условная вероятность. Фор-мулы умножения для независимых и произвольных событий. Формула полной вероят-ности. Формула Байеса. Серии независимых испытаний. Формулы Бернулли и Пуассо-на. Закон больших чисел Бернулли-Чебышева.

Классификация случайных величин: дискретные и непрерывные. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения вероятностей и плотность вероятности непрерывной случайной величины. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, мода. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальное распределение. Выборка и её представление. Дискретный и интервальный вариационные ряды. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Выборочная средняя и выборочная дисперсия. Интервальные оценки.