Тема 12. Определённый интеграл. №1. Вычислить интегралы: а) dx; б) ; в) .

Тема 13. Несобственные интегралы. №1. Вычислить интегралы или установить их расходимость: а) ; б) X dx.

Тема 14. Геометрические приложения определённого интеграла.

№1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: а) у = х ² + 4х, у = х + 4; б) у = х sin x, у = 0, 0 ≤ х ≤ π. №2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограни- ченной линиями у = 4х – х ², у = х. №3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограни- ченной линиями у = х , х = - 4, у = 0.

Тема 15. Кратные интегралы.

№1. Вычислить двойные интегралы: а) ; б) ; в) , где область D ограничена линиями ;

г) , где область D ограничена линиями .

№2. Вычислить тройные интегралы:

а) ; б) , где область G ограничена координатными плоскостями и плоскостью .

Тема 16. Приложения кратных интегралов.

№1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

№2. Найти объём тела, ограниченного плоскостью хОу, цилиндром и плоскостью .

№3. Найти объём тела, ограниченного поверхностями и плоскостью .

№4. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной линиями .

Тема 17. Числовые ряды. №1. Исследовать ряды на сходимость: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) .

Тема 18. Степенные ряды.

№1. Найти области сходимости степенных рядов: а) ; б) ; в) .

Тема 19. Ряды Тейлора и Маклорена. №1. Разложить в ряд Тейлора функцию у = cos по степеням . №2. Разложить функции в ряды Маклорена: а) ln ; б) . №3. Разложить функцию в ряд Маклорена и почленным интегрированием данного ряда написать ряд для функции arctg x. №4. Применяя почленное интегрирование, вычислить сумму ряда . №5. Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда . №6. Вычислить с точностью до 10 ^{– 3}: а) ; б) tg 9⁰.

Тема 20. Дифференциальные уравнения первого порядка.

№1. Решить уравнения и, где указано начальное условие, найти частный интеграл: а) dx = xy dy; б) (1 + е ^х) уу’ = е ^х, у (0) = 1; в) у ² + х ²у’ = хуу’; г) (х ² – 3у ²) dx + 2xy dy = 0, у (2) = 1; д) у = х (у’ – х cos x); е) ху’ + у – е ^х = 0, у (а) = b; ж) у’ + 2у = у²е ^х; з) (3х ²у – 4ху ²) dx + (x ³ – 4x ²y + 12y ³) dy = 0.

Тема 21. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

№1. Решить задачи Коши и построить найденные интегральные кривые: а) у’’’ = , у (1) = 2, у’ (1) = 1, у’’ (1) = 1; б) у’’ = , у (1) = , у’ (1) = 1; в) у ³у’’ = 1, у = 1, у’ = 1.

Тема 22. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

№1. Найти общие решения уравнений: а) у’’’ – 8у = 0; б) у ⁽⁴⁾ – у = 0; в) у ⁽⁵⁾ – 6у ⁽⁴⁾ + 9у’’’ = 0; г) у ⁽⁴⁾ - 5у’’ + 4у = 0; д) у’’ + 4у’ + 4у = хе ^2х; е) у ⁽⁴⁾ + 5у’’ + 4у = 3 sin x.

Ответы к практикуму. Раздел 1. Тема 1. №1. а) , ; б) , . №2. . №3. а) -10; б) 0; в) 306; г) 37. №4. а) ; б) ; в) . №5. а) ; б) . №6. а) 2; б) 3. Тема 2. №1. а) (3; 1; 2); б) (-1; 3; 1); в) (1; 1; -1; -1); г) (1; -2; 1); д) несовместна; е) (2,2 + 1,2х₂; х₂; 1,4 – 0,6х₂; - 1 + х₂); ё) (- 2 +3х₃ + 11х₅; 5 – 6х₃ – 18х₅; х₃; - 3 + 2х₃ + 6х₅; х₅). №2. а) при система несовместна; при - общее решение; при , - единственное решение; б) при , система несовместна; при , - единственное решение. Тема 3. №1. а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) да; е) нет; ё) да; ж) да; з) да. Евклидовы пространства – в пп. ж),з). №2. а) ; б) не разлагается; в) имеется бесконечно много разложений, например, . №3. а) ; б) ; в) . №4. а) линейно зависима; б) линейно независима. №5. а) - неортогональный, ненормированный базис, , ; б) - неортогональный, ненормированный базис, , .

Тема 4. №1. , где , , . №2. а) положительно определена; б) знаконеопределена; в) отрицательно определена. Тема 5. №1. а) 6 – 4i; б) 5 – i; в) 2 + i. №2. а) да; б) нет; в) нет; г) нет. №3. 5 . №4. а) 1024; б) 2 ^{– 6}(1 - i ); в) ± + i, - i; г) ± 2( + i), ± 2(- 1 - i ); д) ± 1, ± + i , ± - i . №5. а) ± i; б) 1 ± 3i; в) 2 ± i, - 2 ± i.

Раздел 2.

Тема 1. №1. . №2. D(9; -5; 6). №3. . №4. а) , ; б) 22. №5. . №6. .

№7. . №8. Указание. Рассмотреть скалярное произведение векторов и . №9. .

№10. 6 куб. ед.; левая тройка. №11. куб. ед.

Тема 2. №1. 20 кв. ед. №2. 525 руб. №3. или . №4. и . №5. Начиная с 400 км более экономично второе средство транспорта. №6. 1,3.

Тема 3. №1. . №2. . №3. . №4. . №5. 3. №6. . №7. .

№8. . Тема 4. №1. . №2. (4; 3; 3). №3. . №4. . №5. . №6. или . №7. . №8. Лежат.

Тема 5. №1. а) Гипербола с центром (2;3) и полуосями a = 3, b = 4; б) окружность с центром (4; - 3) и радиусом 6; в) парабола с вершиной (- 4; 4) и ветвями, направленными вправо; г) эллипс с центром (3; - 1) и полуосями a = 4, b = 2. №2. (х + 1) ² + (у – 1) ² = 5. №3. + у ² = 1. №4. х ² – у ² = 1. №5. х ² = - 2у. №6. (х – 3) ² + (у – 4) ² = 25. №7. + у ² = С ². №8. - = 1.