Тема 4. Непрерывность функции.
№1. Исследовать на непрерывность
функции:
а) у =
;
б) у =
;
в) у =
.
Тема 5. Производная.
№1. Используя определение,
найти производные функций:
а) у
= tg
;
б) у = 3х.
№2. Найти
производные функций:
а) у =
;
б) у =
;
в) у = ln (3x
2 +
);
г) у =
+ ln sinx;
д)
у = ln arctg
;
е) у = х arctg
x.
№3. Найти
производную у’x
, если arcsin y
= x 2y
3 – 7yx 2.
№4. Найти производные п-го порядка:
а) у = cos x;
б) у = 2 х + 2 – х;
в) у =
.
Тема 6. Дифференциал.
№1.
Найти дифференциал функции у =
.
№2.
Найти приближённые значения: а)
(1,015)5; б) tg 460.
Тема 7. Вычисление пределов с помощью производной. №1. Вычислить пределы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
Тема 8. Исследование функций.
№1. Найти асимптоты кривой у =
2х + arctg x.
№2.
Найти интервалы монотонности функции
у =
.
№3.
Найти экстремумы функции у = х
2(1 - х
).
№4.
Найти интервалы выпуклости и точки
перегиба кривой у =
.
№5.
Построить графики функций:
а) у
=
;
б) у = 2х - 3
;
в) у = (х – 1) е 1 – х;
г) у =
.
Тема 9. Функции многих
переменных.
№1. Найти область
определения функции z
=
и изобразить её графически.
№2.
Найти частные производные функции и
=
tg
.
№3.
Вычислить приближённое значение 3,01
2,03 с помощью дифференциала.
№4.
Найти производную функции и =
arccos
в точке М0 (1; 1; 1)
по направлению
вектора l = {2; 1;
2}.
№5. Найти градиент функции z
=
в точке М0(0; 3) и его модуль.
Тема 10. Экстремальные задачи.
№1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 - 6 + 4х – 8 на отрезке [- 1; 8]. №2. Из прямоугольного листа картона размером 2,4 × 1,5 м 2 требуется изготовить коробку без крышки. Какова должна быть сторона квадратов, вырезанных из четырёх углов листа, чтобы объём полученной коробки был максимальным? Чему равен объём такой коробки? №3. Окно в загородном доме имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр окна равен Р. При каком радиусе полукруга площадь окна будет наибольшей?
№4. Найти экстремумы функций:
а) z
= х 2 + у 2 + ху –
4х – 5у; б) z
=
- х – 2у.
№5. Найти наименьшее и наибольшее
значения функции
z
= ln (х + у) в области
(х – 2)2 + (у – 2)2 ≤ 1.
№6. Найти условные экстремумы
функции z =
при х + у = 2.
№7. Общие издержки
производства заданы функцией С = 0,5х
2 + 0,6ху + 0,4у 2 + 700х
+
+ 600у + 2000, где х и у –
количества товаров А и В. Общее
количество произведён-ной продукции
должно быть равно 500 ед. Сколько единиц
товара А и В нужно про-
изводить,
чтобы издержки на их изготовление
были минимальными?
Тема 11.
Неопределённый интеграл.
№1.
Найти интегралы: а)
;
б)
;
в)
;
г)
dx;
д)
dx;
е)
;
ё)
dx;
ж)
dx;
з)
dx;
и)
dx;
й)
dx;
к)
dx;
л)
dx;
м)
dx;
н)
dx;
о)
;
п)
;
р)
;
с)
cos
5
dx;
т)
dx;
у)
cos
4x dx;
ф)
dx;
х)
;
ц)
;
ч)
;
ш)
dx;
щ)
.