
- •А. В. Гончар Сборник вопросов и задач по математике
- •2. Аналитическая геометрия.
- •4. Пределы.
- •7. Интеграл.
- •Вопросы по высшей математике.
- •Тема 1. Матрицы и определители.
- •Тема 3. Многомерные векторы.
- •Тема 4. Квадратичные формы.
- •Тема 5. Комплексные числа.
- •Раздел 2. Аналитическая геометрия.
- •Тема 1. Векторы.
- •Тема 2. Прямая на плоскости.
- •Тема 3. Плоскость.
- •Тема 4. Прямая в пространстве.
- •Тема 5. Кривые 2-го порядка.
- •Раздел 3. Математический анализ.
- •Тема 1. Трансцендентное исчисление.
- •Тема 2. Функции и их графики.
- •Тема 3. Пределы.
- •Тема 4. Непрерывность функции.
- •Тема 5. Производная функции.
- •Тема 6. Дифференциал.
- •Тема 7. Вычисление пределов с помощью производной. №1. Вычислить пределы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) .
- •Тема 8. Исследование функций.
- •Тема 9. Функции многих переменных.
- •Тема 10. Экстремальные задачи.
- •Тема 11. Неопределённый интеграл.
- •Тема 12. Определённый интеграл. №1. Вычислить интегралы: а) dx; б) ; в) dx.
- •Тема 13. Несобственные интегралы.
- •Тема 14. Геометрические приложения определённого интеграла.
- •Тема 15. Кратные интегралы.
- •Тема 16. Приложения кратных интегралов.
- •Тема 17. Числовые ряды. А) Знакоположительные ряды. №1. Исследовать ряды на сходимость: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) .
- •Тема 18. Степенные ряды.
- •Тема 4. Квадратичные формы.
- •Раздел 2. Аналитическая геометрия.
- •Тема 1. Векторы.
- •Тема 2. Прямая на плоскости.
- •Тема 3. Плоскость.
- •Тема 4. Прямая в пространстве.
- •Тема 5. Кривые 2-го порядка.
- •Раздел 3.
- •Тема 1. Трансцендентное исчисление.
- •Тема 2. Функции и их графики.
- •Тема 4. Непрерывность функции.
- •Тема 5. Производная.
- •Тема 7. Вычисление пределов с помощью производной. №1. Вычислить пределы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
- •Тема 8. Исследование функций.
- •Тема 10. Экстремальные задачи.
- •Тема 12. Определённый интеграл. №1. Вычислить интегралы: а) dx; б) ; в) .
- •Тема 13. Несобственные интегралы. №1. Вычислить интегралы или установить их расходимость: а) ; б) X dx.
- •Тема 14. Геометрические приложения определённого интеграла.
- •Тема 20. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 21. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Тема 22. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Раздел 3.
- •Тема 15. №1. А) ; б) 2,4; в) ; г) . №2. А) ; б) .
Тема 4. Прямая в пространстве.
№1. Написать уравнение плоскости,
проходящей через прямую
и точку М (2; -3; 6).
№2. Найти точку пересечения прямой
с плоскостью
.
№3. Написать уравнения перпендикуляра,
опущенного из точки М (1; 0; -1) на
прямую
.
Следующие задачи решить двумя способами – через преобразование общих уравнений прямой в параметрические и через векторное произведение векторов:
№4. Найти угол между прямой, проходящей
через точки М1 (5; 0; 7) и
М2 (1; 0; 1), и прямой
.
№5. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М (5; -1; 7) и параллельной прямой .
№6. Найти угол между прямой
и плоскостью
.
№7. Написать уравнение плоскости,
проходящей через прямую
и перпендикулярной плоскости
.
Следующую задачу решить двумя способами – через поиск точки пересечения прямых и через смешанное произведение векторов:
№8. Выяснить, лежат ли прямые и в одной плоскости.
Тема 5. Кривые 2-го порядка.
№1. Построить кривые:
а) х
2 + 2у 2 – 4х + 4у + 2 =
0; б) у 2 + 6у + 2х + 5
= 0;
в) х 2 + у 2 + 10х
- 4у + 13 = 0; г) 9х 2 – 16у
2 + 90х + 32у – 367 = 0.
№2. Составить
уравнение окружности, проходящей
через точки пересечения окружнос-
ти
х 2 + у 2 + 4х – 4у
= 0 с прямой у = - х и точку М1(4;
4).
№3. Написать каноническое уравнение
симметричного относительно осей
координат
эллипса, который проходит
через точку М(5/4; 1) и имеет эксцентриситет
ε = 3/5.
№4. Дан эллипс
= 1. Составить уравнение гиперболы,
вершины которой нахо-
дятся в
фокусах, а фокусы в вершинах данного
эллипса.
№5. Составить каноническое
уравнение параболы, если её фокус
находится в точке
пересечения
прямой 4х – 3у – 4 = 0 с осью Ох.
Раздел 3.
Тема 1. Трансцендентное исчисление.
№1. Вычислить: а) 16
;
б) lg│cos
π│
+ log 4 1.
№2. Что больше: log 3
4 или log 0,5 7?
№3.
Определить знак числа
.
№4.
Найти область определения функции у
= lg
.
№5.
Дано: ctg
= -
,
6300 <
< 7200. Найти остальные функции
этого угла.
№6. Упростить:
а)
;
б)
;
в) cos
;
г)
8 cos
cos
cos
;
д) sin
.
№7.
Дано: tg
+ ctg
= 3. Найти sec2
+ cosec2
.
№8. Дано: cos = , < < 2π. Найти tg 2 .
Тема 2. Функции и их графики.
№1. Найти области определения
функций:
а) f (x)
=
+
;
б) f (x)
=
;
в)
(3
+ 5х – 2х 2).
№2. Найти
множества значений функций:
а) f
(x) = 5 + 4х – х 2;
б) f (x)
=
.
№3.
Построить графики функций:
а) у
= |х 2 - 5|х| + 6| - 2; б) у
= 2| log2 |х - 1||.
Тема 3. Пределы.
№1.
Доказать, что
.
Определить, начиная с какого номера
члены данной последовательности
будут отличаться от её предела на
величину, меньшую 0,1; 0,01; 0,001.
№2.
Доказать, что
= - 2. Определить, на какую величину
должен отличаться аргумент х от
- 1, чтобы данная функция отличалась
от своего предела на величину, меньшую
чем 0,1; 0,03.
№3. Доказать, что
не существует.
№4. Вычислить: а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е*)
;
ё)
;
ж)
;
з*)
;
и)
;
й)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
;
о)
;
п)
;
р)
;
с)
;
т)
;
у)
.