Тема 4. Квадратичные формы.
№1. Привести к каноническому виду
квадратичную форму
.
№2. Исследовать квадратичные формы
на знакоопределённость двумя способами
– приведением к каноническому виду
и с помощью критерия Сильвестра:
а)
;
б)
;
в)
.
Тема 5.
Комплексные числа.
№1. Вычислить:
а)
;
б)
;
в) (1 + i
)(1
+ i)
;
г)
;
д)
;
е)
.
№2.
Решить уравнения:
а) х 2 + 4
= 0; б) х 2 – 6х + 18 = 0; в) х
4 – 30х 2 + 289 = 0.
Раздел 2. Аналитическая геометрия.
Тема 1. Векторы.
№1. В тетраэдре ABCD
даны рёбра, выходящие из вершины А:
,
,
.
Выразить через эти векторы остальные
рёбра тетраэдра, медиану
грани BCD и вектор
,
где Q – центр тяжести
грани BCD.
№2. Найти модули векторов, на которых
построен параллелограмм с диагоналями
,
.
№3.
Дано:
.
Найти
.
№4. Найти угол между диагоналями параллелограмма ABCD, если заданы три его вершины: А(2; 1; 3), В(5; 2; -1), С(-3; 3; -3).
№5. Дан параллелограмм АВСD с вершинами А(1;2;3), В(3;-4;-2), С(-4;-3;2). Найти его вершину D, острый угол и площадь.
№6. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с вершинами А(7; 10; 1), В(9; 4; 7), С(-8; -10; 2), А1(0; 0; -9). Найти его высоту, проведённую к основанию АВСD.
Тема 2. Прямая на плоскости.
№1. Прибыль от продажи 50 шт. некоторого товара составляет 50 руб., а 100 шт. – 200 руб. Определить прибыль от продажи 500 шт. товара при условии, что функция прибыли линейна.
№2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М (4; 6) и отсекающей от осей координат треугольник площадью, равной 6.
№3. В точках пересечения прямой
с осями координат восстановлены
перпендикуляры к этой прямой. Написать
их уравнения.
№4. Доказать, что прямые
и
параллельны, и найти расстояние между
ними.
Тема 3. Плоскость.
№1. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Оz и проходящей через точки М1 (3; 1; 0) и М2 (1; 3; 0).
№2. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (6; 0; 4).
№3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; -3; 3) и отсекающей на осях Оу и Оz вдвое большие отрезки, чем на оси Ох.
№4. Найти расстояние между плоскостями
и
.
№5. Составить уравнение плоскости,
проходящей через точки М1
(9; 7; 4) и М2 (-3; -4; -1) и
образующей угол 300 с плоскостью
.
№6. Вычислить угол между плоскостями, одна из которых проходит через точки А1(7; -3; 4), В1(-1; -9; -9), С1(0; 4; 5), а другая – через точки А2(2; 0; 1), В2(1; -2; 0), С2(-1; -3; 4).
Следующую задачу решить двумя способами – через составление скалярных уравнений плоскостей и через векторное произведение векторов:
№7. Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку М (3; -1; -5)
и перпендикулярной плоскостям
и
.