Тема 15. Кратные интегралы.

а) Двойные интегралы. №1. Вычислить интегралы: а) ; б) ; в) , где область D ограничена линиями ;

г) , где область D ограничена прямой, проходящей через точки А(2; 0), В(0; 2), и меньшей дугой окружности с центром в точке С(0; 1) и радиуса 1.

б) Тройные интегралы.

№2. Вычислить интегралы:

а) ; б) , где область G ограничена поверхностями .

Тема 16. Приложения кратных интегралов.

а) Геометрические приложения двойного интеграла.

№1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

№2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

№3. Найти объём вертикального цилиндрического тела, ограниченного снизу плоскостью хОу, сверху – поверхностью , а с боков – плоскостями , .

№4. Найти объём тела, ограниченного поверхностью шара радиуса b и поверхностью прямого кругового цилиндра, у которого радиус поперечного сечения равен b/2, а одна из образующих проходит через центр шара.

б) Геометрические приложения тройного интеграла.

№5. Найти объём пирамиды, ограниченной плоскостями .

№6. Найти объём тела, ограниченного поверхностями .

в) Физические приложения кратных интегралов.

№7. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной кривой и осью Ох.

№8. Найти массу тела, ограниченного плоскостями , если плотность .

Тема 17. Числовые ряды. А) Знакоположительные ряды. №1. Исследовать ряды на сходимость: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) .

б) Знакопеременные ряды. №2. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимости: а) ; б) ; в) .

Тема 18. Степенные ряды.

№1. Определить области сходимости степенных рядов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Тема 19. Ряды Тейлора и Маклорена. а) Разложение функций в ряд Тейлора. №1. Разложить функцию у = в ряд Тейлора по степеням (х + 2). б) Разложение функций в ряды Маклорена с помощью основных разложений. №2. Разложить функции в ряды Маклорена: а) ; б) cos ²x; в) ; г) . в) Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. №3. Разложить функцию в ряд по степеням х и почленным интегрированием данного ряда написать ряд для функции arcsin x. №4. Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда .

г) Приближённые вычисления с помощью рядов.

№5. Вычислить приближённо sin 1 и оценить погрешность вычисления. №6. Вычислить cos 1⁰ с точностью до 10 ^{– 6}. №7. Пользуясь тождеством = arcsin , найти число π с точностью до 10 ^{– 4}.

Тема 20. Дифференциальные уравнения первого порядка. а) Уравнения с разделяющимися переменными. №1. Решить уравнение xy dx + (x + 1) dy = 0. №2. Решить уравнение (х ² – 1)у’ + 2ху ² = 0 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у (0) = 1.

б) Однородные уравнения. №3. Решить уравнение ху’ = у - х . №4. Решить задачу Коши: (х ² + у ²) dx – 2xy dy = 0, y (4) = 0.

в) Линейные уравнения. №5. Решить уравнения и, где указано начальное условие, найти частное решение: а) х ²у’ + ху + 1 = 0; б) у’ - 1 – х = 0, у (0) = 0.

г) Уравнения Бернулли. №6. Решить уравнения и, где указано начальное условие, найти частный интеграл: а) у’ = у ⁴cos x + y tg x; б) (1 – х ²) у’ + 2ху = ху ², у (0) = 0,5.

д) Уравнения в полных дифференциалах. №7. Решить уравнения и, где указано начальное условие, найти частный интеграл: а) (3х ² + 2у) dx + (2x – 3) dy = 0; б) dx + dy = 0, у (0) = 2.

Тема 21. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. №1. Решить уравнения и, где указаны начальные условия, найти частный интеграл: а) у’’ = , у = , у’ = 0; б) (1 + х ²) у’’ – 2ху’ = 0, у (0) = 0, у’ (0) = 3; в) у’’ + 2уу’ = 0, у (0) = 2, у’ (0) = - 4; г) уу’’ + (у’ ) ² = 0. Тема 22. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. а) Однородные уравнения. №1. Найти общие решения уравнений: а) у’’ + у’ – 2у = 0; б) у’’ - 2у’ + у = 0; в) у’’ - 4у’ + 13у = 0; г) у ⁽⁴⁾ + 2у’’ + у = 0.

б) Неоднородные уравнения. №2. Найти общие решения уравнений: а) у’’ + у = 4хе ^х; б) у’’’ + у’’ = 6х + е ^{– х}.

Домашние задания.

Раздел 1. Алгебра.

Тема 1. Матрицы и определители. №1. Вычислить матрицы: а) ; б) . №2. Вычислить определители: а) ; б) ; в) ; г) . №3. Найти матрицы, обратные к данным: а) ; б) ; в) . №4. Решить матричные уравнения: а) ; б) . №5. Найти ранг матрицы .

Тема 2. Системы линейных уравнений. №1. Решить системы уравнений: а) б) в) г)

Тема 3. Многомерные векторы.

№1. Выяснить, разлагается ли вектор по системе векторов , , . №2. Найти угол между векторами А₂ и А₃ из №1. №3. Выяснить, являются ли данные системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми: а) ; б) . №4. Найти базис данной системы векторов, содержащий векторы А₂ и А₃, и векторы, не входящие в базис, разложить по нему: . Является ли найденный базис ортогональным? нормированным?