2.8. Выбор системы счисления для применения эвм

Очевидно, что непозиционные системы непригодны в силу своей громоздкости и трудности выполнения арифметических операций.

Из позиционных систем наиболее удобны однородные системы счисления, так как одинаковое основание, т. е. одинаковое количество символов во всех разрядах приводит к наиболее рациональному ис­пользованию оборудования и наиболее простым алгоритмам выполне­ния арифметических операций. Поэтому проанализируем однородные позиционные системы счисления на предмет их применения в ЭВМ. При этом будем учитывать следующие факторы:

1. Наличие физических элементов, способных изобразить симво­ лы системы.

2. Экономичность системы, т. е. количество элементов, необходи­ мое для представления многоразрядных чисел.

3. Трудоемкость выполнения арифметических операций в ЭВМ.

4. Быстродействие вычислительных систем.

5. Наличие формального математического аппарата для анализа и синтеза вычислительных устройств.

6. Удобство работы человека с машиной.

7. Наибольшую помехоустойчивость кодирования цифр на носи­телях информации.

Таким образом, задача выбора системы счисления для применения в ЭВМ сводится по сути к задаче выбора рациональной величины осно­вания системы р. Поэтому рассмотрим с указанных выше позиций системы счисления с разными основаниями.

Наличие физических элементов

Любой из символов, применяемых для записи чисел, должен в ЭВМ изображаться в виде одного или нескольких состояний какого-то физического элемента. Очевидно, что элемент будет тем проще, чем меньше состояний ему требуется иметь, т. е. чем меньше основание системы счисления. Например, для реализации двоичной системы счисления можно применить реле, конденсаторы, магнитные, полу­проводниковые элементы и т. п.

Троичную систему счисления можно еще естественно реализовать при помощи конденсаторов и магнитных элементов. р-позиционные элементы (при р > 3) носят искусственный характер и с увеличением р их реализация усложняется. Так, для реализации десятичного эле­мента обычно используется 10 транзисторов.

Таким образом, по этому критерию наиболее пригодной для использования в ЭВМ является двоичная система счисления.

Экономичность системы счисления

Найти оптимальное значение оcнования системы счисления по этому критерию довольно сложно, так как чем больше основание, тем меньше количество разрядов и, значит, элементов требуется для изображения числа, однако тем большее количество символов должен

отображать каждый элемент, т. е. иметь большее количество устой­чивых состояний, что приводит к его усложнению. Числа при больших основаниях имеют ряд недостатков. Во-первых, нужно иметь назва­ния и обозначения для р цифр, чего обычно нет для больших значе­ний р.

Вторым и гораздо большим недостатком является трудность, воз­никающая при попытках выполнения вычислений с помощью обыч­ных методов. Например, таблица умножения становится чрезмерно громоздкой, чтобы ее можно было помнить наизусть.

С этой точки зрения использование чисел с небольшим основанием дает ряд преимуществ. Например, когда основанием является число р = 3, то в таблице умножения существует только единственное нетривиальное умножение, а именно: 2 • 2 = 4 = 11₃. Однако, как мы видели, запись числа при этом удлиняется.

Поэтому для оценки экономичности системы счисления в качест­ве критерия выберем количество цифроразрядов d_i, необходимое для изображения числа в i-й системе счисления, исходя из условия, что d_i пропорционально количеству деталей оборудования, т. е.

где p_i — основание i-й системы счисления; n_i — количество разря­дов представляемого числа. Правомерность последнего утверждения обусловлена тем, что, например, при умножении время умножения на 1 разряд пропорционально основанию р, а на все разряды — про­порционально р  п.

Количество чисел, которые можно представить в i-й системе счис­ления, определяется следующим образом:

Отсюда

Подставив выражение (2.10) в (2.8), получим

Оптимальное значение величины D_i можно определить, если до­пустить, что величина p_i изменяется не дискретно, а непрерывно и количество чисел N принять равным для всех систем. Тогда и D_i будет непрерывной величиной, находящейся в логарифмической зави­симости g p_i:

Исследовав 2.12 на экстремум , получим

Чтобы оценить экономичность системы с целочисленными основаниями, определим относительное значение Di(отн):

Т аблица 2.6

2	3	4	5	6	7	8	9	10
1,062	1,004	1,062	1,143	1,232	1,300	1,416	1,507	1,597

г де

Подставив выражения (2.11) и (2.13) и (2.14), получим

решив которое для разных р_i , определим характеристику экономич­ности систем с различными основаниями (табл. 2.6).

Следовательно, по критерию экономичности системы наиболее при­емлемой является система счисления с основанием р = 3. Затем сле­дуют системы о р = 2 и р = 4, которые уступают ей на 5,8 %. Одна­ко, -ввиду того что троичный элемент менее надежен, чем двоичный, приходится оборудование для хранения одного троичного разряда, как правило, увеличивать в два раза, т. е. хранить троичный разряд в двух двоичных. С учетом этого наиболее экономичной оказывается снова двоичная система счисления.

Трудоемкость выполнения арифметических операций

По этому критерию наиболее эффективной является двоичная сис­тема, так как чем меньше цифр участвует в арифметических операциях, тем проще их выполнение.

Быстродействие вычислительных устройств

Этот критерий находится в прямой зависимости от простоты ариф­метических операций. Очевидно также, что с увеличением количества цифр в системе счисления быстродействие ЭВМ при прочих равных условиях будет падать.

Наиболее часто встречающейся операцией является операция ал­гебраического сложения. Она выполняется, как правило, за один такт, т. е. протекает с высокой скоростью. Быстродействие ЭВМ в значительной степени зависит от скорости выполнения операции умно­жения, которая, с одной стороны, встречается сравнительно часто, а с другой — является достаточно длительной. Поэтому, если посчи­тать скорость выполнения умножения достаточной характеристикой общего быстродействия ЭВМ, то получим следующие результаты.

С учетом того что на каждом этапе умножения максимальное ко­личество сложений не может превзойти величину (p_i —1), а также учитывая, что количество этапов определяется разрядностью чисел n_i , получим общее количество необходимых сложений

Таблица 2.7

2	3	4	5	6	7	8	9	10
1,000	1,262	1,500	1,725	1,913	2,138	2,333	2,524	2,709

Полученное выражение не имеет экстремумов. Для выявления P_опт необходимо сделать нормированные относительно p_i=2 подсчеты по формуле (2.15) для ряда оснований:

Получим табл. 2.7 результатов.

Таким образом, ЭВМ, работающая в двоичной системе счисления, характеризуется более высоким быстродействием относительно тро­ичной системы на 26,2 % и относительно десятичной — в 2,7 раза,

Наличие формального математического аппарата для анализа и синтеза вычислительных устройств

Таким, аппаратом, позволяющим относительно просто и эконо­мично строить узлы и блоки ЭВМ, является алгебра логики. Наи­большее развитие и законченность изучения, вследствие своей просто­ты и широкого практического применения, получила двоичная логика. При этом все арифметические и управляющие цепи можно строить на основе двоичных элементов, применяя для их анализа и синтеза один и тот же математический аппарат, что значительно облегчает проектирование схем ЭВМ. Это обстоятельство также позволяет сде­лать вывод в пользу двоичной системы счисления по сравнению с ины­ми системами.

Удобство работы человека с машиной

Ввиду того что в своей практической деятельности человек привык пользоваться десятичными числами, то наиболее удобной по этому критерию является десятичная система счисления. Но решить, какая система находится на втором месте, сложнее, так как всё они требуют перевода чисел. Очевидно, наиболее удобной для человека будет систе­ма, в которой проще всего выполняются арифметические действия, запоминаются таблицы сложения, вычитания, умножения, деления, т. е. двоичная.

Наибольшая помехоустойчивость кодирования цифр

Исходя из условия равных технических возможностей при реали­зации любой системы счисления, будем считать, что диапазон измене­ния носителя информации для всех систем остается одинаковым. Тог­да очевидно преимущество систем с малыми основаниями. Это значит, что при наложении некоторой помехи на основной сигнал, изобража­ющий цифру, наибольшая ошибка возможна в устройстве, использующем систему счисления с самым большим основанием. Следовательно, с позиций наибольшей помехоустойчивости предпочтение следует, отдать двоичной системе счисления.

Таким образом, исходя из перечисленных критериев, наиболее приемлемой для применения в ЭВМ является однородная позиционная система счисления с основанием, равным двум. Однако в некоторых случаях при синтезе вычислительного устройства какому-либо крите­рию придается большее значение, чем остальным. Тогда для применения выбирается система счисления, оптимальная по выбранному критерию.

Например, в некоторых случаях предпочтение отдают десятичному счислению, руководствуясь при этом не соображениями экономичнос­ти выбираемого счисления, а удобством общения человека с машиной.

В современных универсальных ЭВМ применяются как двоичная, так и десятичная системы счисления. Причем цифры последней коди­руются двоичными символами, т. е. речь идет в действительности не о десятичной, а о двоично-десятичной системе счисления. Каждая из отмеченных систем имеет свои достоинства и недостатки, а также свои области применения

Достоинствами двоичной системы счисления относительно двоич­но-десятичной являются: 1) экономия порядка 20 % оборудования; 2) примерно в 1,5 раза более высокое быстродействие (не путать с де­сятичной системой, у которой быстродействие в 2,7 раза ниже, чем у двоичной!); 3) упрощение логического построения и значительная эконо­мия оборудования в схемах управления и во вспомогательных цепях.

Достоинствами двоично-десятичной системы являются: 1) отсут­ствие необходимости перевода исходных данных и результатов рас­четов из одной системы в другую; 2) удобство контроля промежуточ­ных результатов путем вывода их на индикацию для визуального на­блюдения; 3) более широкие возможности для автоматического контроля из-за наличия в двоично-десятичном коде избыточных комбинаций.

Двоичную систему счисления применяют в больших и средних ЭВМ, предназначенных для решения научно-технических задач, для которых характерен большой объем вычислений и сравнительно малый объем исходных данных и результатов вычислений. Ее также целе­сообразно применять в ЭВМ, предназначенных для управления тех­нологическими процессами.

Двоично-десятичную систему счисления применяют для решения экономических задач, которые характеризуются большим объемом исходных данных, сравнительной простотой и малым объемом выпол­няемых над ними преобразований и большим количеством результа­тов вычислений. Эту систему целесообразно также применять в каль­куляторах, ЭВМ, предназначенных для инженерных расчетов, а также в персональных ЭВМ.