2.6. Символические системы счисления
Позиционные системы счисления имеют четкие, и определенные межразрядные связи. Это их свойство можно рассматривать как достоинство, так как оно обеспечивает простоту выполнения арифметических операций, и вместе с тем как недостаток, поскольку это свойство из-за наличия межразрядных переносов приводит к ограничению технической скорости выполнения арифметических операций. Поэтому разработка непозиционных систем счисления, в которых отсутствуют межразрядные связи и просто осуществляются арифметические операции, позволила бы повысить скорость выполнения последних.
В символических системах, в отличие от позиционных, цифры являются символами, каждый из которых в отдельности никак не характеризует какое-либо число. Определенным комбинациям цифр условно поставлены в соответствие определенные числа. Примерами символических систем счисления являются знакологарифмическая система счисления и система представления чисел в остатках или система остаточных классов (СОК).
Если целым числам А и В соответствует один и тот же остаток от деления на третье число S, то числа А и В называются сравнимыми по mod S, что выражается записью А == В (mod S). Число в СОК изображается в виде остатков от деления заданного числа на ряд взаимно простых чисел S1 , S2, ..., Sn. При этом образуется число с весами разрядов, соответственно равными S1 , S2, ..., Sn, т. е. Асок = a1, а2, а3, ..., аn где ai = A10 — ki Si и
Таблица 2.5
Десятичная система |
СОК |
|
Десятичная система |
СОК |
||||
a1 |
a2 |
a3 |
|
a1 |
a2 |
a3 |
||
0 1 2 3 4 5 6 7 |
0 1 0 1 0 1 0 1 |
0 1 2 0 1 2 0 1 |
0 1 2 3 4 0 1 2 |
8 9 10 11 12 13 14 15 |
0 1 0 1 0 1 0 1 |
2 0 1 2 0 1 2 0 |
3 4 0 1 2 3 4 0 |
|
где [x] — целая часть х. Следовательно, А = ai (mod Si). Остаток аi - называют также вычетом числа А по модулю Si.
В табл. 2.5 на основании выражения (2.4) приведены трехразрядные числа для первых пятнадцати десятичных чисел, представленных в СОК с весами разрядов, соответственно равными S1 = 2, S2 = 3, S3 = 5.
В СОК поразрядными являются операция счета, а также операции сложения, вычитания и умножения, что является несомненным достоинством сок.
СОК применяется в специализированных ЭВМ, в которых диапазон исходных чисел и промежуточных результатов строго фиксирован и операция деления практически отсутствует.
2.7. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Существует два основных метода перевода числа из одной системы счисления в другую: табличный и расчетный.
Табличный метод прямого перевода основан на сопоставлении таблиц соответствия чисел различных систем счисления. Этот метод очень громоздок и требует большого объема памяти для хранения таблиц, но применим для любых систем счисления (не только для позиционных). Суть другого вида табличного метода состоит в том, что имеются таблицы эквивалентов в каждой системе только для цифр, т. е. баз, этих систем и степеней основания (положительных и отрицательных), т. е. базиса систем. Задача перевода сводится к тому, что в выражения полиномов (2.2) и (2.3) для исходной системы счисления представляют эквиваленты из новой системы для всех цифр и их весов разрядов и производят действия (умножения и сложения) по правилам арифметики по новому основанию р. Полученный при этом результат будет изображать число в новой системе счисления.
Пример. Число A10 = 113 перевести в систему с р = 2.
Таблица эквивалентов
Десятичное число |
Двоичное число |
100 |
0001 |
101 |
1010 |
102 |
1100100 |
Тогда A10 = 113 = 1 * 102 + 1 * 101 + 3 * 100 = 0001 * 1100100 + 0001 * 1010 + 0011 * 0001= =11100012.
Этот метод применим только к позиционным системам счисления. Расчетный метод применим только к однородным позиционным системам счисления.