2.4. Системы счисления специального назначения

Достоинством позиционных систем, специально созданных для упрощения или ускорения вычислений в ЭВМ, является простота алгоритмов выполнения некоторых арифметических операций, недостатком — необходимость перевода из классических позиционных систем в специальные. Их применяют для реализации некоторых вычислительных процессов, в которых не требуется изменять систему счисления при вводе и выводе данных, либо это изменение достигается простыми средствами.

Например, позиционные системы счисления G отрицательным основанием позволяют представить без знака любое вещественное число, положительное или отрицательное. Одной из самых интересных является уравновешенная троичная система счисления, т. е. Система

по основанию 3 с цифрами +1, 0, -1 (или ). Примеры записи чисел в этой системе:

Достоинства уравновешенной троичной системы:

1) знак числа задается его наиболее значимой (старшей) ненулевой цифрой; _

2) переходу числу с противоположным знаком производится заменой всех 1 на 1 и наоборот;

3) операция округления до ближайшего целого сводится к отбрасыванию дробной части.

_ _ _ _

Суммировать в этой системе очень просто, если учесть, что 1 + 1 = 11, 1 + 1 = 0,1 + 1 = 11. Вычитание сводится к переходу к числу, противоположному по знаку, и последующему

_

сложению. Правила умножения на +1 обычны, а при умножении на 1 знак частного произведения меняется на противоположный.

Пример. Умножить

2.5. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ С НЕПОСТОЯННЫМИ ВЕСАМИ РАЗРЯДОВ

Некоторые позиционные системы счисления с непостоянными весами разрядов используются на практике в качестве специальных кодов, примером которых является код Грея.

В двоичном коде при переходе от изображения одного числа к изображению соседнего может происходить одновременное изменение цифр в нескольких разрядах, что может явиться источником ошибок в работе аппаратуры в некоторых случаях (например, при переходе от 7 к 8).

В коде Грея соседние числа различаются цифрой только в одном разряде (табл. 2.4). Двоичные разряды в коде Грея не имеют постоянного веса. Например в числе 3₁₀, представленном в коде Грея, единица второго разряда имеет вес, равный трем.

Таблица 2.4

Десятичная система исчисления	Двоичная система	Код Грея		Десятичная система исчисления	Двоичная система	Код Грея
0	0000	0000		8	1000	1100
1	0001	0001		9	1001	1101
2	0010	0011		10	1010	1111
3	0011	0010		11	1011	1110
4	0100	0110		12	1100	1010
5	0101	0111		13	1101	1011
6	0110	0101		14	1110	1001
7	0111	0100		15	1111	1000

Коду Грея характерен ряд особенностей:

1. при последовательном переходе от числа к числу в нем нет одновременного изменения

цифр в нескольких разрядах;

2. смена значений каждого разряда при последовательном переходе от комбинации к

комбинации происходит вдвое реже, чем в обычном двоичном коде (в младшем разряде

двоичного кода происходит чередование элементов 0—1—0—1—..., во втором разряде —

00— 11—00—11..., в четвертом — 0000—1111—0000..., а в коде Грея для младшего

разряда — 00—11—00—11..., для второго — 0000— 1111—0000...);

3. В коде Грея можно выделить оси симметрии, относительно которых наблюдается и идентичность состояния некоторых разрядов. Главная ось симметрии расположена между кодами (2^n-1—1) и 2^n-1 (отсюда название отраженный или рефлексный код).

Недостатки кода Грея и других позиционных систем счисления с непостоянными весами разрядов обусловлены тем, что в них вес символа (1) не определяется номером разряда (или меняет знак). Из-за этого их трудно применить для обработки информации в ЭВМ. Поэтому перед вводом в ЭВМ или декодированием данных, представленных в позиционных системах счисления с непостоянным весом разрядов, их преобразуют в более простой и удобный двоичный код.