2.3. Кодированные позиционные системы счисления

Это такие системы, в которых цифры одной системы счисления кодируются при помощи цифр другой системы, а число в общем виде записывается следующим образом!

где p — основание системы счисления, символами которой кодируются числа; p — основание исходной системы счисления.

При построении кодированных позиционных систем в качестве весов разрядов могут быть выбраны как члены геометрической прогрессии (т. е. веса однородной позиционной системы счисления), так и произвольные числа. В первом случае системы называются кодированными системами счисления с естественными весами разрядов, во втором — с искусственными весами разрядов.

Примером системы счисления с естественными весами разрядов может служить двоично-десятичная система с весами 8—4—2—1. В ней каждая цифра десятичного числа кодируется двоичной тетрадой. Например, десятичное число 1593 в этой двоично-десятичной системе примет вид:

0001010110010011.

Примером системы счисления с искусственными весами разрядов может служить двоично-десятичная система счисления с весами 2— 4—2—1. Десятичное число 1593 в этой системе примет соответственно следующий вид:

0001101011110011.

Как нетрудно заметить, этот код является самодополняющимся, т. е. в этой системе десятичное число 9 кодируется как 1111, что позволяет наиболее рационально строить десятичные счетчики и арифметические схемы. Код называется самодополняющимся, если двоичные коды любых двух десятичных цифр, дополняющих друг друга до 9 (т. е. если их десятичная сумма равна 9: a^’₁₀ + a^‘’₁₀ = 9), дополняют друг друга до 15₁₀ = 1111₂ (т. е. их сумма a^’₂ + a^‘’₂ = 1111).

Таблица 2.3

Десятичная цифра	Код 8421	Код 2421	Код “8421” + 3		Десятичная цифра	Код 8421	Код 2421	Код “8421” + 3
0	0000	0000	0011		5	0101	0101	1000
1	0001	0001	0100		6	0110	1100	1001
2	0010	0010	0101		7	0111	1101	1010
3	0011	0011	0110		8	1000	1110	1011
4	0100	0100	0111		9	1001	1111	1100

Еще одним самодополняющимся кодом является «код с избытком три» — «8421» + 3. Он получается из естественного кода 8421 добавлением'' к нему числа 3₁₀ = 0011₂. В результате такого добавления получается система с непостоянными весами разрядов. В самом деле, например, цифра 1₁₀ кодируется как 0100₂, т. е. в третьем двоичном разряде 1 имеет вес единицы. Тогда при кодировании цифры 9₁₀ = 1100₂ старшая двоичная цифра должна иметь вес 8, но при кодировании цифры 5₁₀ = 1000₂ она имеет вес 5. Отметим, что все приведенные коды являются системами однородными, так как в каждом двоичном разряде может быть две цифры: 0 или 1. В табл. 2.3 приведены десятичные цифры, представленные в некоторых двоичнодесятичных кодах. Следует также отметить, что двоично-десятичные коды обладают определенной избыточностью, так как для кодирования десятичных цифр используется только 10 комбинаций из 16, что можно использовать для обнаружения некоторых ошибок.