2.2. Позиционные системы счисления
Позиционными называются системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причем значение каждой цифры в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе. Например, в десятичной системе счисления число 777 содержит три одинаковые цифры, но значение каждой из них определяется их позицией.
Позиционные системы имеют ряд достоинств по сравнению с непозиционными, основным из которых является удобство выполнения арифметических операций.
В общем виде число А в позиционной системе счисления может быть представлено следующим образом:
где ai — цифра i-гo разряда числа, причем ai = {0,…,pi -1} есть база системы счисления;
рi — основания системы счисления;
-вес
i-го разряда
Как видно, такие системы строятся не только по принципу аддитивности, но и по принципу мультипликативности, т. е. количественный эквивалент числа определяется как сумма рядом стоящих цифр со своими весами.
Позиционные системы счисления в свою очередь разделяются на ряд подклассов.
Неоднородные позиционные системы счисления
В неоднородных позиционных системах счисления pi — е не зависят друг от друга и могут принимать любые значения, эти системы еще называют системами со смешанным основанием.
В неоднородных системах счисления в каждом i-м разряде количество допустимых символов может быть различно, при этом 0 aipi-1 , где pi-1 - основание системы счисления в i-м
Таблица 2.1
a10 |
a2-5 |
a10 |
a2-5 |
0 1 2 3 4 |
00 01 02 03 04 |
5 6 7 8 9 |
10 11 12 13 14 |
разряде. Запись целого числа в таких системах производится в соответствии с (2.1).
Примером неоднородной позиционной системы счисления может служить система счисления времени, для которой: р0 = 1 с; р1 = 60 с; р2 = 60 мин; р3 = 24 часа; р4 = 365 суток.
Например, время в 2 года, 25 суток, 14 часов, 35 минут, 48 секунд, выраженное в единицах младшего разряда, определится по (2.1):
Специально для применения в ЭВМ была создана неоднородная двоично-пятеричная система счисления, в которой в нечетных разрядах основание р1 = 5 (аi = 0 — 4), а в четных разрядах основание p2 = 2 (аi = 0,1). Так как произведение двух соседних (четного и нечетного) разрядов равно 10, то двумя двоично-пятеричными разрядами можно кодировать одну десятичную цифру (табл. 2.1).
Пример. Записать число 39810, в двоично-пятеричной системе счисления: А = 39810 = 03 * 14 * 13. Здесь n=6, основания р1 =5; p2= 2; р3 = 5; р4 = 2; р5 = 5; р6 = 2, а цифры а1 = 3; а2 = 1; a3 = 4; a4 = 1; a3 = 3; а6 = 0. Для вычисления количественного эквивалента числа A2-5 подставим эти значения в (2.1). A = 0*5*2*5*5+3*2*5*2*5+1*5*2*5+4*2*5+1*5+3 = 0 + 300 + 50 + 40 + 5 + 3 = 39810.