1.4. Алфавитное представление и преобразование информации

Алфавитное представление информации является универсальным. Суть алфавитного представления информации состоит в выборе опре­деленного слова (конечной последовательности букв) в некотором фиксированном алфавите из совокупности всех возможных слов в этом алфавите.

Роль алфавитного представления информации особенно возросла после появления цифровых автоматов, обеспечивающих преобра­зование цифровой информации.

В наиболее общем виде преобразование цифровой алфавитной ин­ формации может быть задано cледующим образом. Пусть X1 = {x1,...,х_т ) и Y = {у1, ..., у_п }— два конечных алфавита. Обозначим че­рез F = F (x1, ..., х_т), G=G(y_t...,у_п) соответственно совокупнос­ти всех слов конечной длины в алфавитах X и У. Если начальная информация записывается в алфавите X, а конечная — в алфавите У, то произвольное преобразование информации есть отображение множества F на множество G.

Среди различных преобразований информации выделяют эквива­лентные преобразования. В случае эквивалентного, преобразования конечная информация полностью определяет начальную информацию.

Пример. X — множество букв русского алфавита. Y — множество номеров та­ких букв. Преобразование из F в G сводится к замене каждой буквы слова, принад­лежащего F, ее номером. Ясно, что такое преобразование будет эквивалентным.

Пример. X — множество, состоящее из цифр О, 1, 2, ..., 9 и знака сложения. Y — множество натуральных чисел. Преобразование из F в G сводится к замене слова а + b (a, b  {0, 1, ..., 9}) — его суммой. Ясно, что задаваемое таким образом преобразование не является эквивалентным, так как, например, 7+2 может быть представлено и как 4+5, т. е. различные слова из F могут дать одно и то же слово в G.

Со всяким преобразованием информации связывается представле­ние о его сложности. По критерию сложности целесообразно выделить один из классов, получивших название простейших.

Простейшими, или буквенными, называются преобразования, заключающиеся в замене каждой буквы начального (исходного) ал­фавита некоторой определенной комбинацией букв конечного алфа­вита.

Пример. Х={0, 1 ,2 ,3), Y= {0, 1}. Преобразование из F в G сводится к замене каждой буквы из X комбинацией символов 0 и 1. Такую замену можно осу­ществить, например, следующим образом: 000, 1 01, 2 10, 311.

Легко заметить, что с помощью простейших эквивалентных пре­образований, информацию, заданную в любом конечном алфавите, можно записать в двухбуквенном алфавите. Такой вариант получил название двоичного, а его буквы обозначаются нулем и единицей. Указанное преобразование выполняется следующим образом: ищется такое натуральное число т, чтобы число различных слов длины т в двоичном алфавите превышало или было равно числу п различных букв исходного алфавита; после этого каждая из букв исходного ал­фавита заменяется словом длины m в двоичном алфавите так, чтобы различным буквам исходного алфавита соответствовали различные слова.

Поскольку число различных слов длины m в двоичном алфави­те равно 2^m , то для возможности выполнения указанного требования достаточно выбрать т так, чтобы выполнялось соотношение 2^m  п.

Кодирование информации в двоичном алфавите неоднозначно. Более того, для любого исходного алфавита существует бесконечное множество таких преобразований. Все эти преобразования носят специальное название двоичного кодирования исходной информации и широко используются в вычислительной технике. В качестве на­чального может быть выбран не обязательно двоичный, а любой другой конечный алфавит, состоящий более чем из одной буквы. Правила кодирования при этом сохраняются. Нужно лишь вместо неравенства 2^m  n использовать неравенство k^m  п, где k — чис­ло букв в выбранном алфавите.

Выполнение простейших преобразований информации обычно не вызывает затруднений и может выполняться с помощью относитель­но несложных автоматов. Вся трудность, связанная с конкретными преобразованиями информации, сводится к установлению соответ­ствия слов в одном (начальном) алфавите словам в другом (конечном) алфавите. Если в качестве начального и конечного берутся, например, двоичные алфавиты, то суть проблемы состоит в получении из одного ряда нулей и единиц другого ряда нулей и единиц, отличных от пер­вого либо числом символов, либо их взаимным расположением, либо тем и другим вместе.