14Обратная угловая засечка. Решение задачи Потенота

15Определение координат промерного судна с берега прямой засечкой

Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы β₁ и β₂ измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Исходные данные: xa, ya, αAc, xb, yb, αBd Измеряемые элементы: β 1 , β2 Неизвестные элементы: X , y

Если α_AC и α_BD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D .

Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол β₁ и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол β₂ и провести прямую линию BP ; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.

Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки:

1. вычислить дирекционные углы линий AP и BP

            (2.14) ,

              (2.15)

2. написать два уравнения прямых линий

для линии AP           Y - Y_A= tgα₁ * ( X - X_A ),

для линии BP          Y - Y_B= tgα₂ * ( X - X_B )                         (2.16)

3. решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты X и Y:

            (2.17) ,

           (2.18)

Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы β₁ и β₂ измерены от направлений AB и BA, причем угол β₁ - правый, а угол β₂ - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис. 2.7.

Рис. 2.7

Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой:

1. решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол α_AB и длину b линии AB,

2. вычислить угол γ при вершине P, называемый углом засечки,

            (2.19)

3. используя теорему синусов для треугольника APB:

               (2.20)

вычислить длины сторон AP (S₁) и BP (S₂) ,

4. вычислить дирекционные углы α₁ и α₂:

                (2.21)

5. решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P.

Для вычисления координат X и Y в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга:

            (2.22)

От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол α_AB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B

BAP = α_AB - ( α_AC + β₁ ) и ABP = ( α_BD + β₂ ) - α_BA .

16Поперечная равноугольная цилиндрическая проекция Гаусса

Проекция Гаусса представляет собой равноугольную поперечную цилиндрическую проекцию. Она была предложена известным математи­ком и картографом Гауссом в 1825 г. С 1928 г. по постановлению III все­союзного геодезического совещания эта проекция используется в СССР на всех геодезических и топографических работах, а также при гидро­графических исследованиях для составления планшетов речного, при­брежного и морского промера.

В рассматриваемом случае проектирование осуществляют на цилиндр, ось которого повернута на 90° относительно оси вращения Земли. Однако в отличие от поперечной проекции Меркатора, здесь непосредственно учитывается сфероидичность Земли и проектирование про­изводят на цилиндр, имеющий как бы эллиптическое основание, точно совпа­дающее с 'Меридианным эллипсом зем­ного сфероида.

Другим принципиальным отличием проекции Гаусса от поперечной проек­ции Меркатора является разбивка всей поверхности Земли на шестиградусные зоны, в каждой из которых назна­чается свой стандартный меридиан касания, получивший название осевого меридиана.

Для определения положения точек на земной поверхности в этой проек­ции используют прямоугольные сфероидические координаты. Покажем смысл этих координат, принимая сна­чала Землю за шар.

Рим. 20

Положение любой точки М на поверхности Земли можно определить угловыми координатами ψ и δ (рис. 20), где

ψ —угол между радиусом-вектором точки Ми плоскостью осевого меридиана (экватора для системы координат с полюсами E, Q);

δ — двугранный угол между плоскостями земного экватора и боль­шого круга, перпендикулярного осевому меридиану и проходя­щего через точку М.

Найдем выражение для ψ и δ через длины соответствующих дуг осе­вого меридиана и перпендикулярного ему большого круга:

(19.1)

где Х, Y— длины дуг осевого меридиана и перпендикулярного ему большого круга;

R — радиус Земли.

Так как в формулах (19. 1) радиус R является величиной постоянной, то точку М вместо угловых координат ψ, δ можно определить длинами соответствующих им дуг X, У, которые и получили название сферических прямоугольных координат.

В проекции Гаусса за начало координат принимается точка О на пересечении земного экватора с осевым меридианом. Сферическая абс­цисса X точки земной поверхности отсчитывается по дуге осевого меридиана до точки М₁ пересечения с перпен­дикулярным к нему большим кругом, про­ходящим через точку М. Сферическая ордината У точки отсчитывается от точки M₁ по дуге перпендикулярного к осевому меридиану большого круга, проходящего через точку М. Ордината У считается положительной к востоку от осевого ме­ридиана и отрицательной к западу от него.

Рис. 21

На поверхности эллипсоида положение любой точки, по аналогии с изложенным, определяется двумя кривыми (рис. 21): дугой осевого меридиана ОМ₁= X и отрезком геодезической линии MM₁= Y — кривой, пересекающей осевой меридиан под прямым углом. Вели­чины X, Y, выраженные в линейной мере, являются сфероидическими прямоугольными координатами точки М на поверхности эллипсоида.

Сферические прямоугольные координаты являются частным случаем сфероидической системы, когда сжатие эллипсоида равно пулю. Они применяются, например, для решения некоторых задач, когда небольшая часть поверхности эллипсоида может быть заменена сферой надлежа­щего радиуса без заметных погрешностей.