1.5.1 Стійкість шарнірно опертого стрижня

Розглянемо шарнірно опертий стрижень із жорсткістю на згинання , що стискається силою (рис. 1.15 а). До навантаження вісь стрижня вважатимемо строго прямою, а лінію дії сили такою, що збігається з віссю стрижня. Тоді можлива прямолінійна форма рівноваги стрижня, яку візьмемо як вихідну. Знайдемо умови існування форм рівноваги стрижня з викривленою віссю, нескінченно близьких до початкової прямолінійної форми рівноваги. Поперечні прогинання стрижня позначимо ; тоді з умови рівноваги частини стрижня у викривленому стані (рис. 1.15 б) можна записати суму моментів стосовно одного з шарнірів:

, (1.16)

де М — внутрішній згинальний момент, зв'язаний з поперечним прогинанням залежністю, відомою з курсу «Опір матеріалів»:

,

тут - кривизна зігнутої осі стрижня.

а) б) в)

Рисунок 1.15

Враховуючи в рівнянні (1.16) тільки лінійні щодо поперечного прогинання доданки, приходимо до лінеаризованого рівняння

(1.17)

Якщо згинальна жорсткість стрижня постійна, то, позначивши , отримаємо лінійне однорідне рівняння з постійними коефіцієнтами

Граничні умови даної задачі такі:

(1.18)

Загальний розв’язок рівняння (1.17) має вигляд

.

З граничних умов (1.18) для довільних постійних і отримаємо однорідну систему рівнянь

Умовою існування розв’язків цієї системи, що не дорівнюють нулю, є

Звідси отримуємо характеристичне рівняння

Корені цього рівняння дають ті значення сили , при яких існують форми рівноваги стрижня з викривленою віссю

(1.19)

Якщо , то форма зігнутої осі стрижня з точністю до масштабу описується функцією (рис. 1.15 в)

(1.20)

Найменше значення відповідає :

. (1.21)

У задачах стійкості, як правило, потрібно знайти точку біфуркації, що відповідає найменшому значенню навантаження. Як показано, ця точка і відповідне їй значення навантаження є критичними. У розглянутому прикладі , а втрата стійкості відбувається за формою, що відповідає . Таким чином, однорідні лінеаризовані рівняння дають можливість знаходити точки біфуркації і з точністю до масштабу визначати конфігурації рівноважних положень системи в околі точок біфуркацій. Але однорідні лінеаризовані рівняння не можуть дати інформації про поведінку системи при кінцевих значеннях її відхилень від досліджуваного початкового положення рівноваги і про характер точок біфуркації.

Однорідні лінеаризовані рівняння теорії пружної стійкості — основний робочий інструмент цієї теорії. Окрім однорідних лінеаризованих рівнянь, що служать для визначення точок біфуркації, в теорії стійкості пружних систем широко застосовують неоднорідні лінеаризовані рівняння для наближеного опису поведінки систем з початковою неправильністю при малих, але кінцевих значеннях відхилень. Такі рівняння достатньо повно характеризують поведінку систем поблизу точок біфуркації першого типу (див., наприклад п.3.8 ). Окрім викладеного способу отримання лінеаризованих рівнянь, можливий і інший більш строгий спосіб, що базується на лінеаризації повних нелінійних рівнянь.