1.5 Лінеаризовані рівняння

У розглянутих вище простих прикладах легко скласти і точно розв’язати повні нелінійні рівняння при довільних значеннях переміщень системи. Проведений аналіз дає вичерпну інформацію про всі можливі стійкі і нестійкі положення рівноваги. Але переважна більшість практично важливих задач значно складніша за наведені, і отримання таких повних точних розв’язків для них є неможливим. Це змушує шукати наближені, спрощені шляхи дослідження поведінки складних пружних систем під дією прикладених до них навантажень.

При розв’язанні задач стійкості пружних систем центральне місце займає визначення критичних точок біфуркації і критичних навантажень. Точки біфуркації визначаються як точки перетину різних розв’язків нелінійних рівнянь (саме так вони визначалися в розглянутих вище прикладах). Але їх можна знайти й інакше, не розв’язуючи нелінійних рівнянь. Це можна зробити за допомогою однорідних лінеаризованих рівнянь.

Основна ідея визначення точок біфуркації за допомогою однорідних лінеаризованих рівнянь полягає в такому. Припустимо, що одна якась форма рівноваги системи відома і потрібно знайти точки біфуркації цієї форми рівноваги. Для цього достатньо, не цікавлячись поведінкою системи далеко від відомої форми рівноваги, знайти умови існування інших форм рівноваги, відмінних від вихідної, але нескінченно до неї близьких. Ті точки, в околі яких існують такі форми рівноваги, і будуть точками біфуркації.

Розглянемо, як можна отримати і використати лінеаризовані рівняння на розглянутих вище простих прикладах. У першому прикладі тривіальний початковий стан рівноваги можна вважати відомим і без розв’язання повного нелінійного рівняння. Знайдемо умови існування інших станів рівноваги, нескінченно близьких до цього. В даному випадку знайдемо умову рівноваги стрижня, відхиленого від вертикалі на нескінченно малий кут (рис. 1.14 а). Кут вважатимемо нескінченно малим і в рівнянні рівноваги враховуватимемо тільки ті доданки, які містять цей кут в першому ступені (звідси і назва «лінеаризоване рівняння»). Тоді можна записати , або

. (1.13)

Отримане однорідне і тепер лінійне стосовно рівняння завжди має тривіальний розв’язок , що відповідає початковому вертикальному положенню рівноваги стрижня. Відхилене положення рівноваги при , що цікавить нас зараз, можливо, якщо вираз, що розміщений у дужках, обертається в нуль, тобто якщо . Таким чином, з умови існування нетривіального розв’язку лінеаризованого рівняння знайдена та сама точка біфуркації, яка вище визначена як точка галуження розв’язку повного нелінійного рівняння. Аналогічно можна отримати лінеаризоване рівняння і для другого з розглянутих вище прикладів (див. рис. 1.6). Розглянувши рівновагу стрижня, відхиленого від вертикалі на нескінченно малий кут , отримаємо

(1.14)

Умова існування нетривіального розв’язку цього рівняння, тобто умова , приводить до тієї самої точки біфуркації, яка раніше знайдена як точка перетину двох різних рішень нелінійного рівняння.

P=P₁

P=P₂

а) б) в) г) д)

Рисунок 1.14

Лінеаризовані рівняння дають можливість знайти точки біфуркації, але при цьому залишається абсолютно не з'ясованим ні тип точки біфуркації, ні характер поведінки системи при кінцевих відхиленнях від початкового положення рівноваги.

Дійсно, однорідні лінеаризовані рівняння (1.13) і (1.14) принципово нічим не відрізняються одне від одного, хоча точки біфуркації відповідних систем належать до різних типів, і при відхиленнях від початкового положення рівноваги ці системи поводяться якісно по-різному. Схематично це показано на рис. 1.14 б. Однорідне лінеаризоване рівняння отримане для нескінченно малих величин , тому воно не може дати ніякої інформації про поведінку системи при кінцевих відхиленнях. Цей спосіб визначення точок біфуркації за допомогою лінеаризованих рівнянь можна використовувати при розв’язанні інших складніших задач. Розглянемо, наприклад, систему, що складається з двох жорстких стрижнів з двома пружними шарнірами (рис. 1.14 в). До навантаження осі стрижнів розміщені на одній вертикалі, і сила Р діє уздовж цієї вертикалі. Стан рівноваги такої системи, при якому стрижні залишаються на одній вертикальній прямій, вважатимемо вихідним. За допомогою лінеаризованих рівнянь знайдемо точки біфуркації цього початкового стану.

Відхилене положення системи задаватимемо кутами та , оскільки система має два ступеня вільності. Внутрішні моменти в пружних шарнірах відповідно дорівнюють та , де — жорсткості пружних шарнірів. Розглянемо умови рівноваги кожного зі стрижнів. Вважаючи кути та нескінченно малими і враховуючи тільки лінійні стосовно та доданки, отримаємо таку систему лінеаризованих рівнянь:

(1.15)

Ця однорідна система лінійних рівнянь має тривіальний розв’язок та , що відповідає початковому вертикальному положенню рівноваги. Для існування розв’язків, що не дорівнюють нулю, необхідно, щоб визначник отриманої системи дорівнював нулю. Таким чином, для того щоб знайти точки біфуркації, необхідно розв’язати систему

.

Розкривши визначник, отримаємо квадратне стосовно рівняння

Припустивши, наприклад, що , знайдемо корені рівняння . Це і будуть ті значення навантаження, при яких можливі суміжні з вихідним відхилені стани рівноваги системи. Лінеаризовані рівняння дозволяють з точністю до масштабу визначати рівноважні конфігурації системи в суміжних з вихідним станах. Так, з рівнянь (1.15) випливає, що при кути та пов’язані співвідношенням , а при співвідношенням . Відповідні рівноважні конфігурації зображені на рис. 1.14 г, д.

Якщо відхилення пружної системи від початкового положення рівноваги можуть бути повністю описані N незалежними параметрами (тобто якщо пружна система має N ступенів вільності), то лінеаризація умов рівноваги поблизу початкового положення системи приводить до системи N лінійних однорідних рівнянь з N невідомими. Для існування нетривіальних розв’язків цієї системи її визначник повинен дорівнювати нулю. Названа умова приводить до рівняння, що дозволяє знайти точки біфуркації початкового положення рівноваги. Якщо це рівняння не має кратного кореня, то число точок біфуркації дорівнює числу ступенів вільності даної системи.

Для системи з розподіленими параметрами, яку можна розглядати як систему з нескінченним числом ступенів вільності, лінеаризація умов рівноваги поблизу початкового положення рівноваги системи приводить до однорідних диференціальних рівнянь. Їх розв’язок дає, взагалі кажучи, нескінченне число точок біфуркації.