1.4 Вплив початкової недосконалості на поведінку системи
У попередніх прикладах при визначенні точок біфуркації і критичних навантажень розглядалися не тільки прості механічні системи, але і їх ідеалізовані схеми. Виникає природне питання, наскільки повно і точно такі схеми можуть відображати поведінку реальних систем. Так, у розглянутих вище прикладах вважалося, що осі стрижнів до навантаження розміщені строго вертикально. У реальній системі практично завжди початковий кут відхилення осі стрижня від вертикалі не дорівнює нулю. На тих самих простих прикладах з'ясуємо, наскільки істотний вплив початкової геометричної недосконалості такого типу на поведінку систем під навантаженням. Тобто з’ясуємо, чи можливо використання результатів аналізу ідеалізованих систем при дослідженні реальних систем.
Знову
розглянемо перший приклад, але вважатимемо,
що в ненавантаженому стані вісь стрижня
відхилена від вертикалі на деякий кут
(рис. 1.12 а).
Якщо повний кут відхилення стрижня при
навантаженні позначити
,
то момент у пружному шарнірі буде
дорівнювати
,
і умова рівноваги стрижня у відхиленому
стані приведе до рівняння
.
Звідси
при
отримаємо
.
Нескладний аналіз дозволяє встановити, які з гілок отриманого розв’язку відповідають стійким положенням рівноваги. Результат такого аналізу схематично зображений на рис. 1.12 б.
а)
б)
в)
Рисунок 1.12
При плавному збільшенні навантаження реалізується права гілка, всі точки якої відповідають стійким положенням рівноваги відхиленого стрижня. На цій гілці кривої при немає ні точок біфуркації, ні граничних точок: зі збільшенням навантаження кут відхилення стрижня монотонно збільшується. Ліва гілка, що містить граничну точку , може бути реалізована тільки тоді, коли до стрижня прикладене деяке додаткове поперечне навантаження, а потім воно зняте.
На
рис. 1.12 в
показаний вигляд правих гілок в околі
точки біфуркації
для декількох різних значень початкового
кута відхилення
.
Вигляд кривих дозволяє зробити два
важливі висновки про поведінку даної
системи з початковою геометричною
недосконалістю. По-перше, точка
біфуркації першого типу
існує тільки у разі ідеалізованої
системи, коли
.
При будь-яких значеннях
точка біфуркації зникає, і зі зростанням
навантаження кут
монотонно збільшується без якісних
змін форм рівноваги.
По-друге, якщо
,
то швидке зростання
відбувається тільки з наближенням
навантаження до його критичного значення,
що відповідає точці біфуркації
ідеалізованої системи при
.
При малих навантаженнях в порівнянні
з цим критичним значенням відхилення
стрижня залишаються малими.
Розглянемо
вплив початкового відхилення
на поведінку другої з досліджених вище
простих систем (рис. 1.13 а).
При відхиленні стрижня на кут
зусилля в пружині дорівнює
,
і умова рівноваги відхиленого стрижня
приводить до рівняння
.
Звідси
при
знаходимо
.
Рисунок 1.13
Проаналізувавши
знак другої похідної повної потенціальної
енергії за кутом відхилення системи,
можна встановити, які з гілок отриманого
розв’язку відповідають стійким
положенням рівноваги. Результат аналізу
для
зображений на рис. 1.13 б.
Як бачимо, поведінка цієї системи при
якісно відрізняється від поведінки
розглянутої вище системи. При
критична точка біфуркації другого типу
трансформується в критичну граничну
точку
.
Досягши цієї граничної точки, відбувається
втрата стійкості початкової форми
рівноваги системи, причому оскільки в
околі граничної точки
немає нових стійких положень рівноваги,
система вимушена стрибком перейти в
нове стійке положення, віддалене від
вихідного на кінцеву відстань.
На рис. 1.13 в побудовані криві навантаження—переміщення для даної системи для декількох значень початкового кута відхилення .
З аналізу впливу початкових відхилень на поведінку цієї системи можна зробити такі висновки. По-перше, критична точка біфуркації другого типу існує тільки для ідеалізованої системи, а при будь-яких значеннях , що не дорівнюють нулю, трансформується в критичну граничну точку. По-друге, за наявності початкових відхилень верхнє критичне навантаження стає меншим за значення, що відповідає точці біфуркації ідеалізованої системи.
Поведінка значно складніших пружних систем аналогічна поведінці розглянутих простих систем з початковою недосконалістю. Так, якщо система, що ідеалізується, без початкової недосконалості має критичну точку біфуркації першого типу, то поведінка реальної системи з початковою недосконалістю поблизу цієї точки біфуркації аналогічна поведінці першої з розглянутих простих систем (див. рис. 1.12). Якщо система, що ідеалізується, без початкової недосконалості має критичну точку біфуркації другого типу, то поведінка реальної системи поблизу цієї точки біфуркації буде аналогічна поведінці другої з розглянутих простих систем (рис. 1.13).