4.3 Стійкість стиснутої прямокутної пластини з опертими краями

Розглянемо прямокутну пластину з опертими краями, що стискається рівномірно розподіленими по відповідних сторонах пластини силами (рис.4.6). Зі збільшенням стискаючих сил можна досягнути границі, коли плоска форма рівноваги стане нестійкою, і подальше збільшення стискання спричинить викривлення пластинки.

Рисунок 4.6

На практиці, як правило, одне із зусиль є заданим, а потрібно знайти критичне значення іншого стискаючого зусилля, при якому плоска форма рівноваги пластини перестає бути стійкою. Для визначення цього зусилля використовують ті самі критерії та методи, які використовувались при дослідженні стійкості стиснутих стрижнів.

Згідно із теоремою Лагранжа (див. п. 1.2) плоска форма рівноваги пластини, що знаходиться під дією зусиль , буде стійкою до того часу, поки їй відповідає мінімум повної енергії.

Як це було показано в п.2.2, стаціонарні значення повної енергії можна знайти з умови ( ):

. (4.30)

Для пластини з опертими краями вираз для відхилень від плоскої форми можна взяти у вигляді

(4.31)

Підставивши (4.31) в загальний вираз для потенціальної енергії вигнутої пластини (2.19), отримаємо

(4.32)

Потенціал зовнішніх сил та неважко визначити, якщо взяти до уваги, що зближення двох відповідних точок, що лежать на сторонах і або і залежно від викривлення пластини, можна подати так:

Тобто

Підставляючи (4.32) і останню формулу в (4.30), отримуємо таку умову для визначення критичних значень стискаючих зусиль:

(4.33)

Розглянемо спочатку простішу задачу. Припустимо, що одне із зусиль, наприклад , дорівнює нулю. У цьому випадку умова (4.33) матиме такий вигляд

звідки

(4.34)

Критичним значенням стискаючого зусилля буде найменше з тих, які можна отримати за формулою (4.34).

Оскільки чисельник і знаменник дробу (4.34) є сумами додатних чисел, то найменше значення дробу буде лише у тому випадку, коли усі коефіцієнти , крім одного, взяти такими, що дорівнюють нулю. Оскільки стискання пластини відбувається лише з одного боку, то необхідно взяти таким, що дорівнює одиниці. Тобто

. ( 4.35)

А перша викривлена форма рівноваги пластини матиме вигляд

У випадку стискання пластини в напрямку осі вона вигинається при критичному значенні стискаючого зусилля таким чином, що в напрямку осі створюється одна півхвиля ( ), а в напрямку осі - півхвиль (рис. 4.7). Для визначення необхідно вибрати з умови мінімуму (4.35).

Якщо , то очевидно, що у формулі (4.35) треба припустити, що . У цьому випадку

. (4.36)

Рисунок 4.7

Перший множник в отриманому виразі для збігається з критичним стискаючим зусиллям для стрижня (балки-смужки) з постійною згинальною жорсткістю , розрахованим за формулою Ейлера (див. п.1.1). Другий член у дужках дає оцінку впливу коротких сторін пластини на величину критичних стискаючих зусиль.

Скористаємося виразом (4.35) для визначення кількості півхвиль, які утворюються при викривленні пластини, коли вона має досить велику довжину в напрямку дії стискаючих зусиль . Якщо розглядати як таке, що безперервно змінюється, з умови отримаємо тобто найменше значення стискаючих зусиль буде відповідати такій викривленій формі пластини, при якій довжина півхвиль дорівнює ширині пластини. При цьому пластина розділяється на вузлові лінії (лінії, вздовж яких прогинання пластини дорівнюють нулю) на квадрати, а критичне значення стискаючих зусиль згідно з (4.35) можна подати в такому вигляді:

тобто значення критичних зусиль в цьому випадку такі самі, як і для стрижня довжиною із затиснутими кінцями. Якщо у формулі (4.36) зберігати постійною ширину пластини , а довжину змінювати, то при цьому змінюватиметься і коефіцієнт , причому найменше значення цього коефіцієнта відповідає квадратній формі пластини, коли .

У випадку, коли досить довга пластина вигинається на ряд півхвиль, то кожна півхвиля, розміщена між вдома вузловими лініями, може бути розглянута як незалежна пластина з опертими краями, оскільки вздовж вузлових ліній відповідні згинальні моменти обертаються в нуль. Для такої пластини заданої ширини критичне навантаження буде найменшим, коли її довжина дорівнює ширині.

Пластина скінченної довжини, відношення сторін якої є цілим числом, при вигинанні також буде поділятися на квадрати. Якщо є дрібним, то пластинка поділяється вузловими лініями на прямокутники з таким відношенням сторін, при якому критичне навантаження, розраховане для однієї півхвилі як для незалежної пластини, має найменше значення. Перехід від півхвиль до півхвилі, як і для стрижнів на пружній основі (див. п.3.4), відбувається при такому відношенні , при якому значення правої частини формули (4.35) не змінюється при зміні на , тобто з умови

отримуємо

. (4.37)

Якщо припустити, що , то перехід від однієї до двох півхвиль відбувається при , від двох до трьох півхвиль - при і т.д.

Таким чином, формула (4.37) дозволяє в кожному окремому випадку знаходити кількість півхвиль, що відповідають першій викривленій формі рівноваги пластини.

Треба відмітити, що прийнята функція прогинань пластини (4.31) може бути використана і при інших зовнішніх навантаженнях (постійних чи таких, що змінюються за заданим законом), якщо дві протилежні сторони пластини вільно оперті, а граничні умови для двох інших сторін довільні, але незмінні вздовж кожної із них.

Якщо, крім зусиль , на пластину діють також зусилля , то, очевидно, якщо вони є такими, що розтягують, то будуть збільшувати знайдене раніше значення , отримане для випадку ; якщо такими, що стискають, то зменшувати.

Так само, як і при , у цьому випадку можна показати, що найменші значення для і , при яких плоска форма рівноваги пластини перестає бути стійкою, можна отримати з умови (4.33), якщо в ньому усі коефіцієнти , крім одного, взяти такими, що дорівнюють нулю. Тобто критичні значення зусиль можна знайти з рівняння

(4.38)

Розглянемо декілька окремих випадків. Наприклад, при з (4.38) отримаємо власні значення

Очевидно, найменше власне значення, що дорівнює критичному, буде при , отже,

Незалежно від відношення сторін пластини вона втрачатиме стійкість за такою формою:

Зокрема, для квадратної пластини при

При стисненні квадратної пластини рівними зусиллями в двох напрямах виявляється в 2 рази менше в порівнянні з у разі стиснення пластини в одному напрямі.

Якщо стискаючі навантаження та вважати такими, що зростають пропорційно одному параметру і позначити де - фіксована величина, то з виразу (4.38) можна отримати такі власні значення задачі:

При найменше значення може бути тільки при . Отже,

де

Для кожного співвідношення сторін і кожного значення число півхвиль слід підбирати з умови мінімуму , подібно до того, як це робилося для пластини, стиснутої в одному напрямі. Для подовженої пластини при стиснення в напрямі не впливатиме на стійкість пластини. В цьому випадку, як при стисненні в одному напрямі, отримуємо та .

При інших граничних умовах розв’язок виходить більш громіздким, але результати якісно аналогічні отриманим вище: для пластини з кінцевим відношенням сторін при стисненні в одному напрямі зменшуються критичні зусилля в іншому напрямі, а для подовжених пластин стиснення в поздовжньому напрямі не впливає на критичні зусилля стиснення в поперечному напрямі. Якщо прямокутна пластина рівномірно стиснута в одному напрямі і рівномірно розтягнута в іншому напрямі, тобто якщо , то для пластини з вільно опертим контуром можна скористатися результатами розв’язку попередньої задачі. Для цього досить змінити знак у виразі (4.38), тобто

При отримуємо власні значення

Зокрема, для квадратних пластин при

Найменше значення може бути тільки при . Далі необхідно підібрати таке значення , що забезпечує найменше власне значення навантаження. Послідовно приймаючи отримуємо і т.д.

Отже, для квадратної пластини, стиснутої в одному напрямі і розтягнутої в іншому рівними за абсолютною величиною зусиллями ,

Втрата стійкості відбувається за такою формою

Подібний аналіз неважко провести і для будь-якого іншого відношення сторін пластини і при будь-яких співвідношеннях між стискаючим і розтягуючим навантаженнями. У всіх випадках для пластин зі скінченним відношенням сторін при розтягуванні у напрямі однієї осі збільшуються критичні значення стискаючого навантаження у напрямі іншої осі. Виняток становить випадок втрати стійкості пластини по поверхні, що розгортається (подовжена пластина і пластина з двома вільними краями).