3.4 Стійкість стрижнів на пружній основі

Задачі стійкості стрижнів на пружній основі становлять інтерес, оскільки розрахункові схеми такого роду широко використовуються на практиці (трубопровід у землі). Крім того, розв’язок цієї задачі має методичне значення: порівняно проста задача стійкості стрижня на пружній основі має особливості, характерні для багатьох складніших задач стійкості пластин і оболонок.

Розглянемо стрижень на так званій вінклеровій суцільній пружній основі. Тобто вважатимемо, що розподілена реакція пружної основи в кожній точці пропорційна прогину стрижня в цій самій точці і не залежить від прогину на інших ділянках стрижня (рис. 3.13):

де - коефіцієнт жорсткості пружної основи.

Використовуючи сформульовані в п. 3.1 основні припущення і викладки, отримаємо лінеаризоване рівняння для такої задачі. Проектуючи на вісь сили, що діють на викривлений елемент стрижня, необхідно також додатково врахувати реакцію пружної основи Остаточно замість рівняння (3.4) отримаємо таке однорідне рівняння:

(3.26)

Рисунок 3.13

Граничні умови, очевидно, не залежать від того, зв'язаний стрижень з пружною основою чи ні. Вони визначаються умовами закріплення і навантаження кінців стрижня. Тому граничні умови, які наведені в п. 3.1, повністю можуть бути перенесені на випадок стрижнів на пружній основі. Рівняння (3.26) справедливе для довільно навантаженого в поздовжньому напрямі стрижня змінної згинальної жорсткості і при змінному коефіцієнті жорсткості . У загальному випадку аналіз цього рівняння має деякі труднощі. Тому спочатку розглянемо стрижень постійної згинальної жорсткості , що лежить на пружній основі з , стиснутий силою . У цьому випадку і рівняння (3.26) набере вигляду

(3.27)

Розв’язання цього рівняння з постійними коефіцієнтами не має принципових труднощів. Найпростіший розв’язок рівняння (3.27) може бути знайдений для шарнірно опертого стрижня (рис. 3.13). В цьому випадку граничними умовами є:

Вище була розглянута задача стійкості шарнірно опертого стрижня без пружної основи, для якої повна система власних функцій має вигляд

(3.28)

Прямою підстановкою неважко переконатися в тому, що такий набір синусоїд дає розв’язок рівняння (3.27), що задовольняє граничні умови і виключає тривіальний розв’язок задачі. Оскільки система функцій (3.28) повна, автоматично отримуємо повну систему власних функцій для даної задачі. Кожна із власних функцій дає відповідне власне значення задачі. Після скорочення загальних множників з рівняння (3.27) отримаємо

звідки

(3.29)

У задачах на власні значення для гарантованого правильного розв’язку необхідно використовувати повну систему функцій (як це зроблено вище), інакше можна отримати помилковий результат. Наприклад, якщо в даній задачі взяти розв’язок у вигляді , то похибка в значенні критичної сили може виявитися скільки завгодно великою. На відміну від задач, розглянутих вище, в цій задачі перше власне значення, що відповідає прогинанню стрижня по одній півхвилі синусоїди, не завжди приводить до найменшого навантаження. Для подальшого визначення критичного навантаження приведемо (3.29) до безрозмірного вигляду

де

При і т.д. отримуємо такі залежності: і т.д.

У координатах при різних ці залежності дають набір прямих (рис. 3.14). Ділянки прямих, що лежать нижче за точки перетину, дають найменше значення , отже, критичні значення безрозмірної сили. Як бачимо, різним значенням жорсткості пружної основи відповідають різні критичні числа півхвилі, тобто залежно від змінюється форма втрати стійкості стрижня. Так, при найменше власне значення відповідає , і форма зігнутої осі стрижня при втраті стійкості описується однією півхвилею синусоїди

При найменше власне значення відповідає форма зігнутої осі стрижня при втраті стійкості описується функцією і т.д. Безперервна зміна параметра супроводжується стрибкоподібною якісною зміною форми втрати стійкості стрижня.

Рисунок 3.14

Знайдемо значення , при якому відбувається зміна форми з кількістю півхвиль на форму з кількістю півхвиль. Для цього скористаємось рівнянням :

звідки . Тобто, якщо задана жорсткість пружної основи за останньою формулою можна визначити і за цим значенням з формули (3.29) отримати критичне навантаження.

При ( ) граничне значення жорсткості основи . Якщо , форма стрижня матиме одну півхвилю, а для випадку - дві півхвилі. Незважаючи на те, що для другого випадку ( ) форма має дві півхвилі, вона відповідає першій формі рівноваги стрижня. Знаючи , за формулою (3.29) можемо знайти критичне навантаження

,

або

де - зведена довжина.

На відміну від стрижня без пружної основи в даній задачі не спостерігається монотонного зменшення критичної сили зі збільшенням довжини стрижня. При фіксованих значеннях та на деяких ділянках зростає зі збільшенням . При критична сила практично перестає змінюватися зі збільшенням довжини стрижня і

До останнього результату можна прийти таким чином. Коли при втраті стійкості по довжині стрижня утворюється достатньо велике число півхвиль , величину що входить в залежність (3.29), можна умовно вважати такою, що безперервно змінюється, і шукати мінімум , диференціюючи цю залежність по :

звідки знаходимо

Таким чином, при досить великому значенні безрозмірного параметра критична сила перестає залежати від довжини стрижня, а втрата стійкості відбувається з таким числом півхвиль, при якому довжина однієї півхвилі приблизно дорівнює .

Розв’язання рівняння (3.27) при граничних умовах, що не дорівнюють шарнірному обпиранню, приводить до аналогічних результатів, але технічно більш громіздке. У загальному випадку розв’язок цього однорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами слід шукати у вигляді , що приводить до характеристичного рівняння Чотири корені цього біквадратного рівняння дають можливість подати загальний розв’язок початкового рівняння у вигляді суми чотирьох функцій з довільними постійними

Використовуючи чотири задані граничні умови задачі, для постійних отримаємо систему чотирьох лінійних однорідних рівнянь алгебри. Прирівнюючи до нуля визначник цієї системи рівнянь, приходимо до рівняння, що дає власні значення задачі , найменше з яких дорівнює критичному навантаженню .

Не аналізуючи різні можливі варіанти розв’язку рівняння (3.26), відзначимо, що коли , загальний розв’язок цього рівняння може бути поданим у вигляді

де

На підставі результату розв’язаної вище задачі можна стверджувати, що умова виконується, якщо заборонені поперечні переміщення обох кінців стрижня. У цьому випадку незалежно від двох інших граничних умов зі збільшенням безрозмірної довжини стрижня критична сила наближається (зверху) до величини . Проте якщо хоча б на одному з кінців стрижня поперечні переміщення не обмежені, то зі збільшенням безрозмірної довжини критична сила наближається до величини .