3.2 Метод початкових параметрів в задачах стійкості

Покажемо послідовність розв’язання рівняння (3.10) методом початкових параметрів. Введемо двовимірний вектор стану, що характеризує викликані вигином переміщення і внутрішні зусилля в довільному перетині стрижня:

де - кут повороту і внутрішній момент, що вигинає, в поточному перетині стрижня.

Як випливає з наведеного вище виведення рівняння (3.4),

Рівняння (3.10) запишемо у вигляді (враховуючи, що закон зміни внутрішнього осьового зусилля вважається відомим)

Два останні рівняння об'єднаємо в одне матричне рівняння

(3.11)

де

За заданих граничних умов неважко знайти критичне навантаження і форму зігнутої осі стрижня при будь-яких законах зміни і , розв’язавши чисельне рівняння (3.11). Загальну схему розв’язання покажемо на прикладі визначення запасу стійкості вертикальної колони змінного перетину, що перебуває під дією власної ваги і несе зосереджений вантаж . Закони зміни згинальної жорсткості колони і погонного навантаження задані (рис. 3.7).

Спочатку знайдемо розподіл внутрішніх осьових зусиль по висоті колони. Розглянемо рівновагу частини колони, що знаходиться вище за перетин , тоді отримаємо

Рисунок 3.7

При чисельно заданих значеннях інтегрування також треба проводити чисельно. Помножимо всі навантаження, що діють на колону, на параметр і розглянемо внутрішнє осьове зусилля Мета подальшого розрахунку – знайти , або значення , що дорівнює запасу стійкості колони.

Перш ніж розпочати чисельне інтегрування рівняння (3.11), очікуваний результат можна оцінити яким – небудь наближеним методом. Така оцінка, по-перше, полегшує чисельний пошук , по – друге, до певної міри запобігає грубій помилці. З цією метою скористаємося методом Гальоркіна (див. п.2.5).

Рівняння (3.10) запишемо у такому вигляді:

Граничні умови задачі

Для оцінки візьмемо розв’язок (3.10) у вигляді ряду

.

У першому наближенні, врахувавши обидві граничні умови, візьмемо (для задоволення граничних умов кількість членів ряду, що враховується, повинна бути парною)

Згідно з методом Гальоркіна знаходимо

(3.12)

При чисельно заданих та інтегрування тут теж доводиться проводити чисельно. Інтеграл, що стоїть в чисельнику, варто перетворити так, щоб позбавитися необхідності диференціювати чисельно задану функцію . Для цього проінтегруємо вираз, що стоїть в чисельнику, по частинах. Враховуючи граничні умови, яким підпорядкована функція , отримаємо

Тоді в першому наближенні приходимо до виразу

(3.13)

Для оцінки точності наближеного розв’язку задачі, отриманого методом Гальоркіна, порівняємо його результати з відомими точними розв’язками. Так, при , та точний розв’язок задачі відомий (див. рис. 3.5 в):

Для цього окремого випадку з виразу (3.13) маємо

Підставимо в цю формулу вибрану функцію Тоді

Точний розв’язок задачі відомий і при , , : У цьому випадку і з виразу (3.13) маємо

Підставивши вибрану функцію і виконавши необхідні операції диференціювання і інтегрування, знаходимо У розглянутих окремих випадках точність наближеного розв’язку задачі, отриманого методом Гальоркіна, цілком задовільна.

Як приклад для чисельного розрахунку візьмемо колону з такими параметрами:

При цих параметрах наближений розв’язок методом Гальоркіна дає

Чисельне інтегрування рівняння (3.11) приводить до значення . Причому з урахуванням умови і того, що розв’язок однорідного рівняння (3.11) може бути отриманий тільки з точністю масштабу, чисельну інтеграцію починаємо зі значення і підбором параметра намагаємося виконати граничні умови на іншому кінці колони

Одночасно можна отримати форму зігнутої осі колони при втраті стійкості

Для довільно закріпленого і довільно навантаженого стрижня вектор стану, що характеризує переміщення і внутрішні зусилля в довільному перетині, можна подати в такому вигляді:

Диференціювання залежності між компонентами цього чотиривимірного вектора випливає з виведення рівняння (3.4):

Наведені залежності об'єднуються в одне матричне рівняння

(3.14)

де

Принципова схема визначення критичних навантажень за допомогою методу початкових параметрів залишається такою самою, як і у викладеному вище прикладі. Для визначення критичних навантажень однопролітного стрижня можуть бути використані й інші наближені методи [5,6,7].