2.1 Повна потенціальна енергія й рівняння рівноваги пружного тіла

Розглянемо механічну систему, що складається з пружного тіла і прикладених до нього зовнішніх «мертвих» сил, тобто сил, що зберігають величину і напрям при деформаціях системи. Тіло вважаємо закріпленим таким чином, що його переміщення як жорсткого цілого виключені. Повна потенціальна енергія такої консервативної системи в навантаженому стані визначається сумою

(2.1)

де - потенціальна енергія деформації тіла; - потенціал зовнішніх сил.

Потенціальна енергія, що накопичується лінійно пружним тілом при деформації, обчислюється за виразом, що отриманий в курсах «Опір матеріалів» чи «Теорія пружності»:

(2.2)

де - об'єм тіла.

У ізотропному лінійно – пружному тілі компоненти напружень і деформацій пов'язані законом Гука:

(2.3)

де - модуль пружності; - коефіцієнт Пуассона.

Виражаючи напруження через деформації, отримаємо (зворотна форма закону Гука):

(2.4)

де - відносна об’ємна деформація, пружні постійні Ляме, пов'язані з і співвідношеннями

; . (2.5)

Співвідношення (2.4) дозволяють подати вираз (2.2) у вигляді

(2.6)

Зокрема, для двовісного напруженого стану при (так звана плоска задача теорії пружності)

(2.7)

(2.8)

Компоненти деформацій можна виразити через переміщення точок тіла (рис. 2.1). У лінійній теорії пружності компоненти деформацій пов'язані з похідними від переміщень лінійними залежностями (співвідношення Коші)

(2.9)

Підставивши ці залежності у формулу (2.7), можна отримати вираз внутрішньої енергії деформації тіла у вигляді квадратичного позитивно визначеного функціонала, що залежить від похідних переміщень

Потенціал об'ємних і поверхневих сил з точністю до постійного доданка, який скрізь знехтуваний, дорівнює роботі цих сил із протилежним знаком:

(2.10)

де перший інтеграл береться за об'ємом тіла , а другий – по тій частині поверхні тіла , до якої прикладені зовнішні поверхневі навантаження. Формула (2.10) відповідає тому випадку, коли об'ємні і поверхневі сили спрямовані так само, як і переміщення . Отже, зі зростанням переміщень потенціал зовнішніх сил зменшується.

Рисунок 2.1

Згідно з теоремою Лагранжа стан рівноваги консервативної механічної системи стійкий тоді і тільки тоді, коли її повна потенціальна енергія мінімальна. Необхідна умова мінімуму повної енергії записується у вигляді так званого варіаційного рівняння Лагранжа

(2.11)

Це рівняння виражає умову стаціонарності повної потенціальної енергії механічної системи в стані рівноваги (необов'язково стійкого). Для того щоб стан рівноваги був стійкий, окрім рівняння (2.11), при будь-яких можливих відхиленнях системи від положення рівноваги повинна виконуватися умова

. (2.12)

Звідси випливає умова позитивної визначеності другої варіації повної потенціальної енергії системи

. (2.13)

Варіаційне рівняння Лагранжа несе велику інформацію: з нього можна отримати диференціальні рівняння рівноваги тіла і ті граничні умови, які можуть бути задані на поверхні тіла.

Розглянемо задачу поперечного вигину балки під дією розподіленого навантаження. Розподілене погонне навантаження спрямоване у бік позитивних переміщень (рис. 2.2 а). Тому потенціал зовнішніх сил має вигляд

(2.14)

Згідно з гіпотезою плоских перетинів при вигині балки (рис. 2.2 б) осьові переміщення дорівнюють

де - координата, що відлічується від нейтральної осі балки; - кут повороту поперечного перетину. Відносна поздовжня деформація дорівнює

(2.15)

Згідно з тією самою гіпотезою кути зсуву дорівнюють нулю і

. (2.16)

a) б)

Рисунок 2.2

Нехтуючи нормальними напруженнями в порівнянні з напруженням , з виразу (2.2) і залежностей закону Гука (2.3) отримуємо

Відмітимо, що до цього виразу не увійшло дотичне напруження , бо за гіпотезою плоских перетинів . Підставимо значення з формули (2.15) в останній вираз, тоді

Інтеграл, що поміщений у квадратних дужках, береться за площею поперечного перетину і дорівнює моменту інерції перетину балки . Виразивши кут повороту перетину через кут нахилу дотичної до пружної осі балки за допомогою формули (2.16), запишемо

Отже, повна потенціальна енергія навантаженої балки дорівнює

(2.17)

З варіаційного рівняння Лагранжа (2.11) випливає, що

Двічі проінтегрувавши по частинах, отримаємо

Звідси випливає диференціальне рівняння поперечного вигину балки

(2.18)

а також можливі для цього рівняння граничні умови при

або тобто

або тобто

Оскільки для балки та , де - внутрішній згинальний момент; - внутрішня поперечна сила, граничні умови можна записати в такому вигляді:

або

або

Форма рівноваги зігнутої балки стійка, оскільки друга варіація повної потенціальної енергії позитивна:

Треба відмітити, що якщо обмежуватися розглядом вигину балки тільки в площині головного моменту інерції, а в число варійованих переміщень включити закручування балки навколо її осі і поперечне переміщення в площині, перпендикулярній до площини дії навантаження , то можна виявити, що за деяких умов плоска форма вигину балки стає нестійкою.

Як другий приклад розглянемо задачу поперечного вигину тонкої пластини. Прямокутну систему координат розташуємо так, щоб координатна площина збіглася з серединною площиною пластини (рис. 2.3 а). При малих прогинаннях пластини її серединну площину можна вважати нерозтяжною. Згідно з основною гіпотезою тонких пластин нормаль до недеформованої серединної площини при вигині пластини не скривлюється і залишається нормаллю до деформованої серединної поверхні пластини. При цьому нормаль нахиляється в площині, паралельній координатній площині , на кут (рис. 2.3 б) і в площині, паралельній координатній площині , на кут При нахилі нормалі її точка , що знаходиться на відстані від серединної площини, отримує переміщення

a) б)

Рисунок 2.3

Ці переміщення викликають деформацію шару пластини, віддаленого на відстань від серединної площини. Відповідно до формул (2.9) компоненти деформацій дорівнюють

Нехтуючи нормальним напруженням на площадках, паралельних серединній площині, напружений стан зігнутої пластини можна вважати двовісним. Тоді за формулою (2.8) отримаємо

Проінтегруємо по товщині пластини, перегрупуємо доданки в квадратних дужках і введемо позначення циліндричної жорсткості пластини Тоді

(2.19)

Потенціал зовнішніх сил, очевидно, дорівнює

де - розподілене навантаження, що діє на пластину.

Додаючи отримані значення та , знаходимо повну потенціальну енергію пластини

.(2.20)

З умови стаціонарності цього виразу можна отримати диференціальне рівняння вигину пластини і ті граничні умови, які можуть бути задані на контурі пластини. Далі, за допомогою рівняння Ейлера для функціонала енергії (2.20), можна отримати рівняння поперечного вигину тонкої пластини

(2.21)

де - оператор Лапласа