1.8 Особливості задач стійкості пружних систем

При дослідженні стійкості пружних стрижнів, пластин та оболонок візьмемо такі основні обмеження і припущення [1].

По-перше, всюди, де це спеціально не обумовлено, матеріал вважаємо лінійно пружним (ізотропним та анізотропним). Відомо, що багато практично важливих задач стійкості пружних тіл потребує врахування значно складних реологічних властивостей (нелінійна пружність, пластичність, повзучість і т.д.). Але для тонкостінних елементів силових конструкцій із сучасних високоміцних матеріалів це обмеження повністю мотивовано. Як правило, працездатність таких конструкцій визначається їх стійкістю у пружній області. Крім того, для правильного формулювання та розв’язання задач стійкості пружних тіл з іншими реологічними властивостями необхідно розуміти формулювання і розв’язання задач стійкості для лінійно – пружного тіла.

По-друге, усі зовнішні навантаження, що діють на деформовану систему, вважаємо консервативними, тобто припускаємо, що робота таких навантажень на будь-яких допустимих переміщеннях системи залежить тільки від початкової і кінцевої конфігурацій системи. Накладені на систему зв’язки вважаємо ідеальними, припускаючи, що сили реакцій цих зв’язків не здійснюють роботу на будь-яких можливих переміщеннях точок системи, до яких прикладені ці сили. При таких навантаженнях та зв’язках пружна система є консервативною.

По-третє, при визначенні критичних навантажень та дослідженні закритичної поведінки системи використовуємо статичний підхід, не враховуючи інерційні сили в системі, що виникають у процесі її деформування. Для консервативних систем такий статичний підхід до визначення критичних навантажень завжди призводить до тих самих результатів, що і більш загальний динамічний підхід . При дослідженні закритичної поведінки статичний підхід дає можливість знайти тільки стійкі рівноважні стани, у яких може перебувати система при визначеному рівні навантаження, але не дозволяє простежити в часі подробиці закритичного поводження системи після втрати стійкості. Однак для більшості практичних задач розрахунку силових конструкцій достатньо знайти умови, при яких трапиться втрата стійкості, та оцінити закритичне поводження конструкції, а ця мета може бути досягнута на основі статичного підходу.

Крім перелічених загальних обмежень, про які слід пам’ятати при практичному використанні тієї чи іншої конкретної формули або рівняння, обговоримо ще одне менш відоме припущення, на основі якого вирішується більшість задач теорії пружної стійкості тонкостінних конструкцій.

Звернемося знову до класичної задачі стійкості шарнірно опертого стислого стрижня (рис. 1.3). При виведенні формули (1.1) зміну розмірів стрижня в докритичному стані не враховували, на момент втрати стійкості довжину стрижня вважали такою, що дорівнює початковій довжині .

Оцінимо порядок похибки, що міститься у формулі Ейлера, пов’язаної з ігноруванням докритичною деформацією стрижня. Відповідно до закону Гука при пружному стисненні стрижня , де ; тут та - модуль пружності та площа поперечного перетину стрижня.

Критичну силу, обчислену за формулою (1.1) при початкових розмірах стрижня, позначимо . Тоді відповідне критичне подовження (“скорочення”) стрижня дорівнює

,

де - радіус інерції перетину стрижня. З урахуванням зміни довжини стрижня можна записати таке:

(1.30)

Так, для стрижня квадратного поперечного перетину

де - сторона квадрата.

Отже, формула Ейлера органічно містить похибку порядку або у порівнянні з одиницею. Треба зазначити, що практичне скорочення не залежить від модуля пружності матеріалу стрижня, а є геометричною характеристикою стрижня. Проте формула (1.30) насправді не уточнює формулу Ейлера, а тільки дає оцінку порядку похибки, що міститься в класичному розв’язанні. У процесі докритичного стиснення змінюються не тільки довжина стрижня, але і розміри його поперечного перетину (за рахунок коефіцієнта Пуассона). Тому, враховуючи, що формулу (1.30) можна записати в такому вигляді:

У класичному розв’язанні внутрішній згинальниий момент у стрижні визначається залежністю , що базується на гіпотезі плоских перетинів. Якщо побудувати розв’язок, вільний від гіпотези плоских перетинів, то у результаті такого розв’язання додаткова поправка для також матиме порядок але знак цієї поправки буде іншим. Знехтування гіпотезою плоских перетинів робить стрижень менш жорстким і тим самим зменшує критичне навантаження.

Для отримання остаточної достовірної поправки до формули Ейлера необхідно переглянути закон Гука, враховуючи при його формулюванні відмінність між значеннями умовного і дійсного напруження деформації. І поки не внесено коригування в закон Гука, враховувати всі зазначені вище поправки не має сенсу.

На цьому прикладі показана цікава і важлива особливість задач стійкості. Задачі стійкості за своєю природою нелінійні. Класичне поставлення задачі про точки біфуркації пружної рівноваги можна розглядати як перше наближення повної нелінійної задачі. Для подальшого уточнення класичного поставлення необхідно ретельно і всебічно вивчати всі нелінійні чинники, які можуть зробити вплив на остаточний розв’язок. Тому достовірні уточнення класичного поставлення задач стійкості вдається зробити тільки для деяких окремих задач [1].

Класичне поставлення задач теорії пружної стійкості базується на такому припущенні.

Докритичний напружений стан системи визначається за рівняннями лінійної теорії пружності, причому зміною початкових розмірів системи до втрати стійкості нехтують. Це припущення (якщо не зроблено спеціального зауваження) використовуємо при виведенні лінеаризованих рівнянь стрижнів, пластин і оболонок, пам'ятаючи при цьому, що всі остаточні формули для критичних навантажень неминуче міститимуть похибку порядку в порівнянні з одиницею. Це основне припущення можна трактувати таким чином. До втрати стійкості пружне тіло напружене, але не деформоване. Така спрощена модель пружного тіла дозволяє досліджувати стійкість більшості тонкостінних силових конструкцій, але не може розглядатися як універсальна.

Для деяких задач знехтування зміною початкових розмірів системи або визначення зміни розмірів за рівняннями лінійної теорії пружності може привести до похибок, істотно більших за наведені вище, або навіть якісно спотворити результат розв’язку. Наприклад, стисла вита пружина може втратити стійкість подібно до стислого гнучкого стрижня. В цьому випадку критичну силу можна визначити за формулою для еквівалентного стрижня

, (1.31)

де - коефіцієнт, що відображає спосіб закріплення кінців (див. п.1.1); - жорсткість еквівалентного стрижня при згинанні; - довжина пружини.

Але для отримання правильного результату в цій формулі необхідно врахувати докритичне обтискання пружини і припустити, що

,

де - початкова довжина пружини; - жорсткість пружини при стисненні.

Враховуючи докритичне обтискання, з формули (1.31) отримуємо кубічне рівняння для визначення критичної сили

Якщо у формулі (1.31) взяти, що , то вона якісно і кількісно відрізнятиметься від точного результату, який є розв’язком останнього рівняння.

На відміну від задач стійкості суцільного стрижня, де врахування докритичних змін його довжини без урахування впливу решти чинників не мало сенсу, урахування докритичного обтискання пружини цілком логічне. Щоправда, для повної строгості розв’язання необхідно показати, як докритичне обтискання впливає на значення .

Знехтування зміною початкової геометрії системи приводить до похибок, що значно перевищують похибку порядку в порівнянні з одиницею в тих випадках, коли початкові деформації пов'язані з вигином тонкостінної системи.

Більше того, можливі випадки, коли знехтування початковими переміщеннями, пов'язаними з вигином системи в докритичному стані, приводить до неприпустимо великих похибок визначення критичного навантаження. Наприклад, якщо в задачі стійкості стислої в осьовому напрямі тонкої циліндрової оболонки з малою початковою неправильністю форми не враховувати початковий напружено – деформований стан, викликаний докритичним вигином оболонки, то можна отримати якісно неправильний результат. Але тонкостінні елементи правильно спроектованих силових конструкцій в докритичному стані, як правило, працюють без помітних вигинів. Вигин таких елементів – це найчастіше результат втрати стійкості, що викликає різке зростання напруження і переміщень в конструкції і приводить до часткової або повної втрати її працездатності. Для розрахунку на стійкість таких тонкостінних елементів припущення про знехтування зміною початкової геометрії є цілком виправданим.

Розділ 2

Енергетичний метод розв’язання задач стійкості

У даному розділі показано, що для систем з розподіленими параметрами краще використовувати енергетичний метод. Дано обґрунтування двох варіантів запису енергетичного критерію стійкості пружних тіл: через початкове напруження і безпосередньо через зовнішні навантаження. Крім того, в розділі викладені основи методів Релея – Рітца і Гальоркіна у застосуванні до задач стійкості пружних систем.