Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет

Тарасевич ю.Я. Основи стійкості пружних систем

Рекомендовано вченою радою

Сумського державного університету

як навчальний посібник

Суми

Вид-во СумДУ

2008

УДК 517.958:539.3 (075.8)

Т 19

ББК 34.44

Рекомендовано до друку вченою радою

Сумського державного університету

Міністерства освіти і науки України

(протокол № 7 від 13 березня 2008 р.)

Рецензенти:

д-р техн. наук, проф. В.А. Марцинковський

(Сумський державний університет);

канд. техн. наук, проф. І.Б. Карінцев

(Сумський державний університет)

Тарасевич Ю.Я.

Т 19 Основи стійкості пружних систем»: Навчальний посібник. – Суми: Вид-во СумДУ, 2008. – 218 с

ISBN 978-966-657-180-2

Посібник розрахований на студентів спеціальності „Динаміка та міцність”, а також студентів, аспірантів та інженерів, що стикаються із задачами стійкості пружних систем.

Викладені основні методи розрахунку стійкості пружних систем під дією статичних зосереджених і розподілених навантажень. Особлива увага приділена застосуванню на практиці статичного та енергетичного методів до визначення стійкості стрижневих систем. Наведені приклади, що полегшують вивчення та освоєння матеріалу.

ББК 34.44

© Ю.Я. Тарасевич, 2008

Isbn 978-966-657-180-2 © Вид-во СумДу, 2008

Зміст

Вступ……………………………………………………… Розділ 1 Основні поняття теорії стійкості пружних систем		5
1.1 Стійкі і нестійкі стани рівноваги………………….		7
1.2 Неоднозначність станів рівноваги пружних систем		13
1.3 Точки біфуркації, граничні точки і критичні навантаження……………………………………………		23
1.4 Вплив початкової недосконалості на поведінку системи…………………………………………………..		29
1.5 Лінеаризовані рівняння……………………………. 1.5.1 Стійкість шарнірно опертого стрижня………….		33 38
1.6 Енергетичний підхід до визначення критичних навантажень. Теорема Лагранжа………………………..		41
1.7 Стійкість пружних систем при комбінованому навантаженні …………………………………………...		46
1.8 Особливості задач стійкості пружних систем……………………….……………………………		49
Розділ 2
Енергетичний метод розв’язання задач стійкості
2.1. Повна потенціальна енергія й рівняння рівноваги пружного тіла……………………………………………		56
2.2 Варіаційний критерій визначення стійкості пружних систем………………………………………….		65
2.3 Енергетичний критерій стійкості у формі С.П. Тимошенко………………………………………….		79
2.4 Метод Релея – Рітца в задачах стійкості……………		90
2.5 Метод Гальоркіна………………………………….....		95
Розділ 3
Стійкість прямих стрижнів при поздовжньому стисненні
3.1 Основне лінеаризоване рівняння і його розв’язок…........................................................................	99
3.2.Метод початкових параметрів …………………….	113
3.3 Розв’язання задач стійкості стрижнів енергетичним методом………………………………….	119
3.4 Стійкість стрижнів на пружній основі …………….	132
3.5 Стійкість стрижнів з урахуванням податливості опор………………………………………………………	139
3.6 Стійкість стрижнів у закритичних областях…….	146
3.7 Вплив початкової неправильності на поведінку стиснених стрижнів…………………………………….	162
Розділ 4 Стійкість пластин
4.1 Поставлення задачі. Основні залежності…….........	172
4.2 Основне лінеаризоване рівняння ………………….
4.3 Стійкість стиснутої прямокутної пластини з опертими краями ……………………………………..	189
4.4 Розв’язання основного рівняння для круглих пластин…………………………………………………..	199
4.5 Наближені розв’язки основного лінеаризованого рівняння………………………………………………….	204
Список використаної літератури……………………….	217

Вступ

Даний навчальний посібник присвячений проблемам стійкості пружних систем.

На практиці конструкція повинна задовольняти не лише умови міцності та жорсткості, але й умови стійкості. Тобто, крім розрахунку на міцність та жорсткість, який виконується за допомогою методів, наведених у курсі «Опір матеріалів», у ряді випадків необхідно проводити розрахунок на стійкість. При розрахунку на стійкість необхідно знайти те найменше значення зовнішнього навантаження, при якому стають можливими декілька різних форм рівноваги. Таке навантаження називають критичним. До того часу, поки навантаження менше критичного, можлива лише одна стійка форма рівноваги. При розв’язанні задач на визначення критичних навантажень використовують різні критерії та методи, основними з яких є статичний, енергетичний і динамічний.

Суть першого критерію стійкості полягає в тому, що поряд із початковим станом рівноваги виникають суміжні, нові рівноважні форми.

Другий метод полягає в такому: якщо енергія деформації буде більшою за роботу зовнішніх сил, то очевидно, що система буде стійкою; якщо ж енергія деформації виявиться менше за роботу зовнішніх сил, система буде нестійкою; при так званій байдужій рівновазі (при лінійному поставленні задачі) зростання енергії деформації повинно дорівнювати роботі зовнішніх сил.

Третій критерій стійкості полягає в дослідженні руху системи, викликаного деякими малими збудженнями початкового рівноважного стану.

У першому розділі посібника наведені деякі відомості з теорії стійкості, введені основні визначення, показані характерні особливості пружних систем.

У другому розділі наведений енергетичний метод розрахунку на стійкість, а також наближені методи Тимошенка, Релея-Рітца, Гальоркіна.

У третьому розділі показано використання розглянутих у другому розділі методів, а також показані підходи до визначення стійкості стрижневих систем на пружній основі та податливих опорах. Показані характерні особливості поведінки пружних систем у закритичних областях.

Четвертий розділ присвячений розрахунку на стійкість пластин. Розглянуті основні закономірності поведінки пластин (особливо круглих) при втраті стійкості і в закритичній області.

Автор сподівається, що цей посібник буде корисний всім тим, хто розпочинає вивчення методів розрахунку на стійкість пружних систем з метою їх застосування у своїй практичній діяльності.

Розділ 1 Основні поняття теорії стійкості пружних систем

З теоретичної механіки відомо, що рівновага твердих тіл може бути стійкою або нестійкою. При стійкій рівновазі тіло, що виведене будь-якою зовнішньою силою з положення рівноваги, повертається в це положення після припинення дії сили. Але на практиці доводиться стикатися не з твердими, а пружними тілами. Так, якщо призматичний стрижень стискати силами, що діють вздовж його осі, він буде скорочуватися, зберігаючи свою прямолінійну форму. При деяких умовах прямолінійна форма рівноваги може стати нестійкою, а стрижень почне викривлятися.

У цьому розділі на найпростіших прикладах введені основні поняття теорії стійкості пружних тіл, такі, як точки біфуркації, критичні навантаження, граничні точки, лінеаризоване рівняння, основи енергетичного підходу до визначення стійкості. Також розглянуто обмеження і припущення, які мають для теорії пружних систем те саме значення, що і основні гіпотези і припущення теорії пружності.